Изменения

{{Определение |definition='''Схемой Бернулли'''Распределение числа успехов в n испытаниях(англ. ''Bernoulli scheme'') называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода {{---}} «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью <tex> p \in (0, 1)</tex> , а неудача {{---}} с вероятностью <tex> q = 1 - p </tex>.}}  == Распределение Бернулли=={{Определение |definition='''Распределение Бернулли''' (англ. ''Bernoulli distribution'') {{---}} описывает ситуации, где "испытание" имеет результат "успех" либо "неуспех".}}[[Дискретная случайная величина | Случайная величина]] <tex>\xi</tex> с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью <tex>p</tex> успеха : ни одного успеха или один успех. Функция распределения <tex> \xi</tex> имеет вид <tex> F_{\xi}(x) =P(\xi < x) \begin{cases}0, & x\leqslant 0 \\1 - p, & 0 < x \leqslant 1\\1, & x > 1 \end{cases}</tex>

Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит Случайная величина <tex>\xi</tex> имеет '''биномиальное распределение''' (англ. ''binomial distribution'') с одной параметрами <tex>n \in \mathbb N</tex> и той же вероятностью <tex> p ∈ \in (0, 1), а неудача — с вероятностью q = 1 − p. Обозначим через </tex> и пишут: <tex> v_\xi \in \mathbb B_{n, p} </tex> число успеховесли <tex> \xi</tex> принимает значения <tex>k = 0, 1, \ldots , случившихся в n испытаниях схемы Бернулли. Эта </tex> с вероятностями <tex >P(случайная\xi = k) величина может принимать целые значения от нуля до n в зависимости от результатов испытаний. Например, если все n испытаний завершились неудачей, то величина = </tex><tex> v_\dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n- k} </tex> равна нулю.

(формула Бернулли). Для любого <tex >k = 0, 1, . . . \ldots , n </tex> вероятность получить в <tex>n </tex> испытаниях <tex>k </tex> успехов равна P(<tex>P(v_{n} = k ) = </tex> <tex dpi= k) = <math"145">\binomdbinom{n}{k}</math> <tex> \cdot p ^ {k} </tex> <tex> \cdot q ^ {n - k}</tex>  

Событие A = {<tex> \{A = v_{n} = k\} </tex> = k} означает, что в <tex>n </tex> испытаниях схемы Бернулли произошло ровно <tex>k </tex> успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события <tex>A</tex>: когда первые <tex>k </tex> испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> \cdot (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события <tex>A </tex> отличаются лишь расположением <tex>k </tex> успехов на <tex>n </tex> местах. Есть ровно <mathtex dpi="145">\binomdbinom{n}{k}</mathtex> cпособов способов расположить <tex>k </tex> успехов на <tex>n </tex> местах. Поэтому событие <tex>A </tex> состоит из <mathtex dpi="145">\binomdbinom{n}{k}</mathtex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> \cdot q ^ {n - k}</tex>Набор вероятностей в теореме называется биномиальным распределением вероятностей.

== Пример Геометрическое распределение ==Правильная монета подбрасывается 10 раз{{Определение |definition='''Геометрическое распределение''' (англ. Найти вероятность того''geometric distribution'') {{---}} распределение дискретной случайной величины, что герб выпадет от 4 равной количеству испытаний случайного эксперимента до 6 разнаблюдения первого успеха.}}

Вычислим отдельно вероятности получить 4{{Лемма|id=th1|statement=Вероятность того, 5 и 6 гербов после десяти подбрасываний монеты.P(что первый успех произойдёт в испытании с номером <tex>v_k \in \mathbb N = {101, 2, 3, \ldots}</tex> равна <tex>P(r = 4k) = <math>p \binomcdot q^ {10}{4k - 1}</mathtex> |proof=Вероятность первым <tex> (k - 1/2)^ {4} </tex> испытаниям завершиться неудачей, а последнему {{---}} успехом, равна <tex> P(1/2r = k) = p \cdot q^ {10 k - 41} </tex> ≈ 0,205;}}

{{Теорема|id=th1|statement=Пусть <tex> P(r = k) = p \cdot q^{k - 1} </tex> для любого <tex> k \in \mathbb N </tex>. Тогда для любых неотрицательных целых <tex>n </tex> и <tex>k</tex> имеет место равенство: <tex> P(r > n + k | r > n) = P(r > k) </tex>|proof=По определению условной вероятности,<tex > P(r > n + k | r > n) = </tex> <tex> \dfrac{P(r > n + k, r > n)}{P(r > n)} = \dfrac{P(r > n + k)}{P(r > n)} </tex>v_ <tex>\left(1\right)</tex>Последнее равенство верно в силу того, что событие <tex> {r > n + k} </tex> влечёт событие <tex>{r > n}</tex>, поэтому их пересечением будет событие <tex> {r > n + k}</tex>. Найдём для целого <tex> m \geqslant 0</tex> вероятность <tex> P(r > m)</tex> : событие <tex> r > m </tex> означает,что в схеме Бернулли первые <tex>m</tex> испытаний завершились «неудачами», то есть его вероятность равна <tex> q^{m}</tex>. Возвращаясь к формуле <tex>\left(1\right)</tex> получаем, что эта [[Дискретная случайная величина | случайная величина]] равна <tex > P(r > n + k | r > n) = </tex> <tex> \dfrac{P(r > n + k, r > n)}{P(r > n)} = \dfrac{q^{n + k}} {q^{n}} =</tex> <tex> q^{10k}= P(r > k)</tex> . }} = 6= Обобщение (полиномиальная схема) = =Обычная формула Бернулли применима на случай, когда при каждом испытании возможен один из двух исходов.Рассмотрим случай, когда в одном испытании возможны <tex> m<math/tex>исходов: <tex>1, 2, \binomldots , m,</tex> и <tex>i</tex>-й исход в одном испытании случаетсяс вероятностью <tex> p_{10i}</tex> , где <tex>p_{1}+ \ldots + p_{6m}= 1</mathtex> .{{Теорема|id=th1|statement=Обозначим через <tex> P(n_{1}, \ldots , n_{m})</tex> вероятность того, что в <tex>n</tex> независимых испытаниях первый исход случится <tex> n_{1}</tex> раз, второй исход {{---}} <tex>n_{2}</tex> раз, и так далее, наконец, <tex>m</tex>-й исход {{---}} <tex>n_{m}</tex> раз тогда верна формула:<tex > P(n_{1}, \ldots , n_{m})= </tex> <tex> \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot\ldots \cdot n_{m}!} \cdot {p_{1}}^{n_{1}} \cdot \ldots \cdot {p_{m}}^ {n_{m}}</tex>|proof=Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex> n_{2}</tex> двоек, и так далее.Это результат <tex>n</tex> экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex>p_{n_{1}} \ldots p_{n_{m}}</tex>. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex>1, 2, \ldots , m</tex> на <tex>n</tex> местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> местах <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex>n_{2}</tex> двоек,и так далее Это число равно<tex>\dbinom{n}{n_1} \cdot\dbinom{n - n_1 - n_2}{n_2} \cdot \dbinom{n - n_1 - n_2- n_3}{n_3} \cdot\ldots \cdot \dbinom{n - n_1 - n_2 - \ldots - n_{m -1}}{n_m} = \dfrac {n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot \ldots \cdot n_{m}!}</tex>}} == Примеры ====== Правильная монета ====Правильная монета подбрасывается <tex>10</tex> раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от <tex>4</tex> до <tex>6</tex> раз. Вычислим отдельно вероятности получить <tex>4, 5</tex> и <tex>6</tex> гербов после десяти подбрасываний монеты. <tex >P(v_{10} = 4) =</tex> <tex> \dbinom{10}{4} \cdot\left(\dfrac{1} {2}\right)^ {4} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 4} </tex> <tex> ~\approx ~ 0{.}205 </tex> <tex >P(v_{10} = 5) = </tex> <tex>\dbinom{10}{5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 5}</tex><tex>~\approx ~ 0{.}246 </tex> <tex >P(v_{10} = 6) =</tex> <tex> \dbinom{10}{6} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {6} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 6} </tex> ≈ <tex>~\approx ~ 0,{.}205;</tex>

<tex>P(4\leqslant v_{10} \leqslant 6) = P(v_{10} = 4) + P(v_{10} = 5) + P(v_{10} = 6) ~\approx ~ 0{.}656 </tex> === = Правильная игральная кость с двумя исходами ====Два игрока по очереди подбрасывают правильную игральную кость. Выигрывает тот, кто первым выкинет шесть очков. Найти вероятность победы игрока, начинающего игру. Шесть очков может впервые выпасть при первом, втором, и так далее. бросках кости. Первый игрок побеждает, если это случится при броске с нечётным номером, второй {{---}} с чётным. Пусть событие <tex> ν_A_{10k}</tex> состоит в том, что шесть очков впервые выпадет в испытании с номером <tex>k</tex>. По лемме, <tex > P(A_{k}) = </tex> <tex>\dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right) ^{k - 1} </tex>События <tex>A , B</tex>, означающие победу первого и второго игроков соответственно, представимы в виде объединения взаимоисключающих событий:<tex> A = A_{1} \cup A_{3} \cup A_{5} \cup \ldots , B = B_{2}\cup B_{4} \cup B_{6} \cup \ldots </tex>Вероятности этих объединений равны суммам вероятностей слагаемых: <tex > P(A) =</tex><tex> v_\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} + \dfrac{1}{6} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{4} \ldots = \dfrac{6}{1011} .</tex> Теперь аналогичным образом посчитаю вероятность для события <tex>B</tex> <tex> P(B) = 4</tex> <tex> \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right) ^{3} + P\dfrac{1}{6} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{5} \ldots = \dfrac{5}{11}. </tex> ==== Правильная игральная кость с тремя исходами ====Игральная кость подбрасывается пятнадцать раз. Найти вероятность того, что выпадет ровно десять троек и три единицы.Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение любой другой грани.  Так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по <tex> v_\dfrac{1}{106} </tex> = 5, а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) + <tex>\dfrac{4}{6}</tex>, то вероятность получить десять троек, три единицы и ещё два других очка равна <tex > P(10, 3, 2) = </tex> <tex> v_\dfrac{15!}{10! \cdot 3! \cdot2!} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{10} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{3} \cdot \left(\dfrac{4}{6}\right)^{2}</tex>  ==См. также== *[[Дискретная случайная величина]]*[[Математическое ожидание случайной величины]] ==Источники информации== 6) ≈ 0*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Бернулли Википедия {{---}} Распределение Бернулли]*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальное_распределение Википедия {{---}} Биномиальное распределение]*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Бернулли Википедия {{---}} Формула Бернулли]*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрическое_распределение Википедия {{---}} Геометрическое распределение]*''Н.И Чернова'' Теория вероятности {{---}} Новосибирск,6562009.[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Теория вероятности]]