Изменения

{{Определение |definition='''Распределение Схемой Бернулли в теории вероятностей и математической статистике''' — (англ. ''Bernoulli scheme'') называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода {{---}} «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью дискретное распределение вероятностей<tex> p \in (0, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы1)</tex> , когда заранее известна вероятность успеха или неудачиа неудача {{---}} с вероятностью <tex> q = 1 - p </tex>.== Определение ==}}

Схемой '''Распределение Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью <tex> p \in \mathbb ''' (0, 1англ. ''Bernoulli distribution'')</tex> {{---}} описывает ситуации, а неудача — с вероятностью q = 1 − pгде "испытание" имеет результат "успех" либо "неуспех".

Для любого <tex >k = 0, 1, . . . \ldots , n </tex> вероятность получить в <tex>n </tex> испытаниях <tex>k </tex> успехов равна P(<tex>P(v_{n} = k ) = </tex> = k) = <texdpi="145">\binomdbinom{n}{k}</tex> <tex> \cdot p ^ {k} </tex> <tex> \cdot q ^ {n - k}</tex>  

Событие A = {<tex> \{A = v_{n} = k\} </tex> = k} означает, что в <tex>n </tex> испытаниях схемы Бернулли произошло ровно <tex>k </tex> успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события <tex>A</tex>: когда первые <tex>k </tex> испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> \cdot (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события <tex>A </tex> отличаются лишь расположением <tex>k </tex> успехов на <tex>n </tex> местах. Есть ровно <texdpi="145">\binomdbinom{n}{k}</tex> cпособов способов расположить <tex>k </tex> успехов на <tex>n </tex> местах. Поэтому событие <tex>A </tex> состоит из <texdpi="145">\binomdbinom{n}{k}</tex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> \cdot q ^ {n - k}</tex>Набор вероятностей в теореме называется биномиальным распределением вероятностей.

== Пример Геометрическое распределение ==Правильная монета подбрасывается 10 раз{{Определение |definition='''Геометрическое распределение''' (англ. Найти вероятность того''geometric distribution'') {{---}} распределение дискретной случайной величины, что герб выпадет от 4 равной количеству испытаний случайного эксперимента до 6 разнаблюдения первого успеха.}}

Вычислим отдельно вероятности получить 4{{Лемма|id=th1|statement=Вероятность того, 5 и 6 гербов после десяти подбрасываний монеты.что первый успех произойдёт в испытании с номером <tex>k \in \mathbb N = {1, 2, 3, \ldots}</tex> равна <tex>P(r = k) = p \cdot q^ {k - 1} </tex>|proof=Вероятность первым <tex> k - 1 </tex> испытаниям завершиться неудачей, а последнему {{---}} успехом, равна <tex> P(r = k) = p \cdot q^{k - 1} </tex>}}

{{Теорема|id=th1|statement=Пусть <tex> P(r = k) = p \cdot q^{k - 1} </tex> для любого <tex> k \in \mathbb N </tex>v_{10}. Тогда для любых неотрицательных целых <tex>n </tex> и <tex>k</tex> имеет место равенство: <tex> P(r > n + k | r > n) = 5P(r > k) </tex>|proof= По определению условной вероятности,<tex>P(r > n + k | r > n) = </tex> <tex> \dfrac{P(r > n + k, r > n)}{P(r > n)} = \binomdfrac{10P(r > n + k)}{5P(r > n)}</tex> <tex> \genfracleft(1\right)</tex>Последнее равенство верно в силу того, что событие <tex> {r > n + k}</tex> влечёт событие <tex>{r > n}</tex>, поэтому их пересечением будет событие <tex> {r > n + k}{</tex>. Найдём для целого <tex> m \geqslant 0}{1}{2}</tex> вероятность <tex> P(r > m)</tex> : событие <tex> r > m </tex> означает,что в схеме Бернулли первые <tex>m</tex> испытаний завершились «неудачами», то есть его вероятность равна <tex> q^ {5m} </tex>. Возвращаясь к формуле <tex>\left(1\right)</tex> получаем, что эта [[Дискретная случайная величина | случайная величина]] равна <tex > P(r > n + k | r > n) = </tex> <tex> \genfracdfrac{P(r > n + k, r > n)}{P(r > n)}= \dfrac{}q^{0n + k}{1}{2}q^ {10 - 5n}}=</tex> <tex>~\approx ~ 0q^{.k}246 = P(r > k)</tex>.

P(<tex>v_{10}</tex> = 6) = <tex>\binom{10}{6}</tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {6} </tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {10 - 6} </tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex> Сложим вероятности несовместных событий:P(4)(<tex> \le </tex><tex> v_{10}</tex> <tex> \le </tex>6) = P(<tex> v_{10} </tex> = 4) + P(<tex> v_{10} </tex> = 5) + P(<tex> v_{10} </tex> = 6) <tex> ~\approx ~ 0{.}656 </tex>

Вероятность Обозначим через <tex>P(n_{1}, \ldots , n_{m})</tex> вероятность того, что в <tex>n</tex> независимых испытаниях первый успех произойдёт в испытании с номером исход случится <tex> n_{1}</tex> раз, второй исход {{---}} <tex>n_{2}</tex> раз, и так далее, наконец, <tex>m</tex>-й исход {{---}} <tex>n_{m}</tex> раз тогда верна формула:<tex > P(n_{1}, \ldots , n_{m}) = </tex> <tex>k \in dfrac{n!}{n_{1}! \mathbb N cdot n_{2}! \cdot\ldots \cdot n_{m}!} \cdot {p_{1}}^{n_{1}} \cdot \ldots \cdot {p_{m}}^{n_{m}}</tex>|proof= Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex> n_{2}</tex> двоек, 3и так далее.Это результат <tex>n</tex> экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex>p_{n_{1}} \ldots p_{n_{m}}</tex>. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex>1, 2, \ldots , m</tex> на <tex>n</tex> местах.Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> местах <tex>n_{1}</tex> единиц, равна P(r<tex>n_{2}</tex> = k) = pдвоек,и так далее Это число равно<tex> q^ \dbinom{n}{n_1} \cdot\dbinom{n - n_1 - n_2}{n_2} \cdot \dbinom{n - n_1 - n_2- n_3}{n_3} \cdot\ldots \cdot \dbinom{n - n_1 - n_2 - \ldots - n_{k m - 1} }{n_m} = \dfrac {n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot \ldots \cdot n_{m}!}</tex>