Изменения

{{Определение |definition='''Распределение Схемой Бернулли в теории вероятностей и математической статистике''' — (англ. ''Bernoulli scheme'') называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода {{---}} «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью дискретное распределение вероятностей<tex> p \in (0, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы1)</tex> , когда заранее известна вероятность успеха или неудачиа неудача {{---}} с вероятностью <tex> q = 1 - p </tex>.}}  == Распределение Бернулли== {{Определение |definition='''Распределение Бернулли''' (англ. ''Bernoulli distribution'') {{---}} описывает ситуации, где "испытание" имеет результат "успех" либо "неуспех".}}[[Дискретная случайная величина | Случайная величина]] <tex>\xi</tex> с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью <tex>p</tex> успеха : ни одного успеха или один успех. Функция распределения <tex> \xi</tex> имеет вид <tex> F_{\xi}(x) =P(\xi < x) \begin{cases}0, & x\leqslant 0 \\1 - p, & 0 < x \leqslant 1\\1, & x > 1 \end{cases}</tex> [[Файл:Распределение Бернулли.jpg‎]]

Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит Случайная величина <tex>\xi</tex> имеет '''биномиальное распределение''' (англ. ''binomial distribution'') с одной параметрами <tex>n \in \mathbb N</tex> и той же вероятностью <tex> p \in \mathbb (0, 1)</tex> и пишут: <tex> \xi \in \mathbb B_{n, а неудача — p}</tex> если <tex> \xi</tex> принимает значения <tex>k = 0, 1, \ldots ,n</tex> с вероятностью q вероятностями <tex >P(\xi = k) = </tex><tex > \dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 − - p)^{n - k} </tex> .

Для любого <tex >k = 0, 1, . . . \ldots , n </tex> вероятность получить в <tex>n </tex> испытаниях <tex>k </tex> успехов равна P(<tex>P(v_{n} = k ) = </tex> = k) = <texdpi="145">\binomdbinom{n}{k}</tex> <tex> \cdot p ^ {k} </tex> <tex> \cdot q ^ {n - k}</tex>  

Событие A = {<tex> \{A = v_{n} = k\} </tex> = k} означает, что в <tex>n </tex> испытаниях схемы Бернулли произошло ровно <tex>k </tex> успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события <tex>A</tex>: когда первые <tex>k </tex> испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> \cdot (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события <tex>A </tex> отличаются лишь расположением <tex>k </tex> успехов на <tex>n </tex> местах. Есть ровно <texdpi="145">\binomdbinom{n}{k}</tex> cпособов способов расположить <tex>k </tex> успехов на <tex>n </tex> местах. Поэтому событие <tex>A </tex> состоит из <texdpi="145">\binomdbinom{n}{k}</tex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> \cdot q ^ {n - k}</tex>Набор вероятностей в теореме называется биномиальным распределением вероятностей.

== Пример Геометрическое распределение ==Правильная монета подбрасывается 10 раз{{Определение |definition='''Геометрическое распределение''' (англ. Найти вероятность того''geometric distribution'') {{---}} распределение дискретной случайной величины, что герб выпадет от 4 равной количеству испытаний случайного эксперимента до 6 разнаблюдения первого успеха.}}

Вычислим отдельно вероятности получить 4, 5 и 6 гербов после десяти подбрасываний монеты.{{Лемма|id=th1P(<tex>v_{10}</tex> = 4) |statement= Вероятность того, что первый успех произойдёт в испытании с номером <tex>k \binom{10}{4}</tex> <tex> in \genfrac{}{}{}{0}mathbb N = {1}{, 2, 3, \ldots}^ {4} </tex> равна <tex> P(r = k) = p \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}cdot q^ {10 k - 41} </tex> |proof=Вероятность первым <tex>~\approx ~ 0{.}205 k - 1 </tex> P(<tex>v_ испытаниям завершиться неудачей, а последнему {{10---}} успехом, равна </tex> P(r = 5k) = <tex>p \binom{10}{5}</tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}cdot q^{k - 1}{2}^ {5} </tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {10 - 5}</tex> <tex>~\approx ~ 0{.}246 </tex>

Вероятность того, что первый успех произойдёт в испытании с номером Пусть <tex> P(r = k) = p \cdot q^{k - 1} </tex> для любого <tex>k \in \mathbb N = {1, 2, 3, </tex>. . .}, равна Тогда для любых неотрицательных целых <tex>n </tex> и <tex>k</tex> имеет место равенство: <tex> P(r = > n + k| r > n) = pq^ {P(r > k - 1} ) </tex>

Вероятность первым По определению условной вероятности,<tex> P(r > n + k | r > n) = </tex> − <tex> \dfrac{P(r > n + k, r > n)}{P(r > n)} = \dfrac{P(r > n + k)}{P(r > n)} </tex> <tex>\left(1 \right)</tex>Последнее равенство верно в силу того, что событие <tex> {r > n + k} </tex> влечёт событие <tex>{r > n}</tex>, поэтому их пересечением будет событие <tex> {r > n + k}</tex>. Найдём для целого <tex> m \geqslant 0</tex> испытаниям завершиться неудачейвероятность <tex> P(r > m)</tex> : событие <tex> r > m </tex> означает, а последнему — успехомчто в схеме Бернулли первые <tex>m</tex> испытаний завершились «неудачами», то есть его вероятность равна <tex> q^{m}</tex>. Возвращаясь к формуле <tex>\left(1\right)</tex> получаем, что эта [[Дискретная случайная величина | случайная величина]] равна <tex> P(r > n + k | r > n) = </tex> <tex> \dfrac{P(r > n + k, r > n) }{P(r > n)} = \dfrac{q^{n + k}} {q^{n}} = pq</tex> <tex> q^{k - 1} = P(r > k)</tex>. 

Пусть Обозначим через <tex> P(r = kn_{1}, \ldots , n_{m}) = pq^</tex> вероятность того, что в <tex>n</tex> независимых испытаниях первый исход случится <tex> n_{k - 1} </tex> для любого раз, второй исход {{---}} <tex> k \in \mathbb N n_{2}</tex>. Тогда для любых неотрицательных целых n раз, и k имеет место равенствотак далее, наконец, <tex>m</tex>-й исход {{---}} <tex>n_{m}</tex> раз тогда верна формула: <tex> P(r n_{1}, \ldots , n_{m}) = </tex> n + k | r <tex> \dfrac{n) = P(r > k) !}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot\ldots \cdot n_{m}!} \cdot {p_{1}}^{n_{1}} \cdot \ldots \cdot {p_{m}}^{n_{m}}</tex>

По определению условной вероятностиРассмотрим один элементарный исход,благоприятствующий выпадению <tex> P(r > n + k | r > n) = \genfrac{}{}{}{0}{P(r > n + k, r > n)}n_{P(r > n)} = \genfrac{}{}{}{0}{P(r > n + k)}{P(r > n)1} </tex> (9)Последнее равенство верно в силу тогоединиц, что событие <tex> n_{r > n + k2} </tex> влечёт событие двоек, и так далее.Это результат <tex>{r > n}</tex>экспериментов, поэтому их пересечением будет событие когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex> p_{n_{1}} \ldots p_{n_{r > n + km}}</tex>. Найдём для целого Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex> 1, 2, \ldots , m \ge </tex> 0 вероятность на <tex> P(r n</tex> m)местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> : событие местах <tex> r > m n_{1}</tex> означаетединиц,что в схеме Бернулли первые m испытаний завершились «неудачами», то есть его вероятность равна <tex> q^n_{m2}</tex>. Возвращаясь к (9)двоек, получим и так далее Это число равно<tex> P(r > n + k | r > n) = \genfracdbinom{n}{n_1}\cdot\dbinom{n - n_1 - n_2}{0n_2}\cdot \dbinom{P(r > n + k, r > n)- n_1 - n_2- n_3}{P(r > n)n_3} = \genfraccdot\ldots \cdot \dbinom{}n - n_1 - n_2 - \ldots - n_{m -1}{}{0n_m}{q^= \dfrac {n + k}!} {q^n_{n1}! \cdot n_{2} = q^! \cdot \ldots \cdot n_{km}!} = P(r > k)</tex>.

== Пример Примеры ====== Правильная монета ====Правильная монета подбрасывается <tex>10</tex> раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от <tex>4</tex> до <tex>6</tex> раз. Вычислим отдельно вероятности получить <tex>4, 5</tex> и <tex>6</tex> гербов после десяти подбрасываний монеты. <tex >P(v_{10} = 4) =</tex> <tex> \dbinom{10}{4} \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^ {4} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 4} </tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex> <tex >P(v_{10} = 5) = </tex> <tex>\dbinom{10}{5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 5}</tex><tex>~\approx ~ 0{.}246 </tex> <tex >P(v_{10} = 6) =</tex> <tex> \dbinom{10}{6} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {6} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 6}</tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex> Сложим вероятности несовместных событий:<tex>P(4 \leqslant v_{10} \leqslant 6) = P(v_{10} = 4) + P(v_{10} = 5) + P(v_{10} = 6) ~\approx ~ 0{.}656 </tex> ==== Правильная игральная кость с двумя исходами ====

Шесть очков может впервые выпасть при первом, втором, и так далее. бросках кости. Первый игрок побеждает, если это случится при броске с нечётным номером, второй — {{---}} с чётным. Пусть событие <tex> A_{k} </tex> состоит в том, что что шесть очков впервые выпадет в испытании с номером <tex>k</tex>. По последней теоремелемме, <tex> P(A_{k}) = </tex> <tex>\genfrac{}{}{}{0}dfrac{1}{6} \times cdot \left(\genfrac{}{}{}{0}dfrac{5}{6}\right)^{k - 1} </tex>События <tex>A , B</tex>, означающие победу первого и второго игроков соответственно, представимы в виде объединения взимоисключающих взаимоисключающих событий:<tex> A = A_{1} \cup A_{3} \cup A_{5} \cup . . . \ldots , B = B_{2}\cup B_{4} \cup B_{6} \cup . . .\ldots </tex>

<tex> P(A) = </tex><tex> \genfrac{}{}{}{0}dfrac{1}{6} + \genfrac{}{}{}{0}dfrac{1}{6} \timescdot \left(\genfrac{}{}{}{0}dfrac{5}{6}\right)^{2} + \genfrac{}{}{}{0}dfrac{1}{6}\times cdot\left(\genfrac{}{}{}{0}dfrac{5}{6}\right)^{4} ... \ldots = \genfrac{}{}{}{0}dfrac{6}{11}.</tex> Теперь аналогичным образом посчитаю вероятность для события В<tex>B</tex>

<tex>P(B) = </tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}dfrac{1}{6} \times(cdot \genfrac{}{}{}{0}dfrac{5}{6})+ \genfrac{}{}{}{0}dfrac{1}{6} \timescdot \left(\genfrac{}{}{}{0}dfrac{5}{6}\right)^{3} + \genfrac{}{}{}{0}dfrac{1}{6}\times cdot\left(\genfrac{}{}{}{0}dfrac{5}{6}\right)^{5} ... \ldots = \genfrac{}{}{}{0}dfrac{5}{11}.

Рассмотрим схему независимых испытаний уже не с двумя, а ==== Правильная игральная кость с большим количеством возможных результатов в каждом испытании.тремя исходами == Пример ==

Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение любой другой грани. Поэтому воспользоватьсяформулой для числа успехов в схеме Бернулли не удаcтся. Попробуем вывести подходящую формулу. Пусть в одном испытании возможны <tex> m</tex> исходов: <tex>1, 2, . . . , m,</tex> и <tex>i</tex>-й исход в одном испытании случаетсяс вероятностью <tex> p_{i}</tex>, где <tex>p_{1} + . . . + p_{m} = 1</tex>.Обозначим через <tex>P(n_{1}, . . . , n_{m})</tex> вероятность того, что в <tex>n</tex> независимых испытаниях первый исход случится <tex>n_{1}</tex> раз, второй исход — <tex>n_{2}</tex> раз, и так далее, наконец, <tex>m</tex>-й исход — <tex>n_{m}</tex> раз

{{Теорема|id=th1|statement=Для любого <tex>n</tex> Так как вероятности выпадения тройки и любых неотрицательных целых чиселединицы равны по <tex> n_\dfrac{1}, . . . , n_{m6}</tex>, сумма которых равна а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) <tex>n\dfrac{4}{6}</tex>, верна формула:то вероятность получить десять троек, три единицы и ещё два других очка равна <tex> P(n_{1}10, . . . 3, n_{m}2) =( </tex> <tex> \fracdfrac{n15!}{n_{1}10! \times n_{2}cdot 3! .. \times n_{m}cdot2!})\times cdot \left(p_\dfrac{1}{6}\right)^{10} \cdot \left(n_\dfrac{1}{6}\right)^{3} \times... cdot \timesleft(p_\dfrac{m4}{6}\right)^(n_{m2})

<tex> P(10, 3, 2) = \frac =См. также== *[[Дискретная случайная величина]]*[[Математическое ожидание случайной величины]] ==Источники информации==*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Бернулли Википедия {15!}{10! \times 3! \times 2!---} \times ((\genfrac{}Распределение Бернулли]*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальное_распределение Википедия {}{---}{0}Биномиальное распределение]*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Бернулли Википедия {1}{6---})^10) \times ((\genfrac{}Формула Бернулли]*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрическое_распределение Википедия {}{---}{0}{1}Геометрическое распределение]*''Н.И Чернова'' Теория вероятности {6})^3)\times ((\genfrac{---}{}{}{0}{4}{6})^2)Новосибирск, 2009.[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]</tex>[[Категория: Теория вероятности]]