Изменения

Для начала определим для каждой вершины <tex>v</tex> данной сети <tex>G</tex> длину кратчайшего <tex>s \leadsto v</tex> пути из истока и обозначим ее её <tex>d[v]</tex> (для этого можно воспользоваться [[Обход в ширину|обходом в ширину]]).<br/>  В слоистую сеть включаем только те ребра рёбра <tex>(u,v)</tex> исходной сети, для которых <tex>d[u] + 1 = d[v]</tex>. Полученная сеть ациклична, и любой <tex>s \leadsto t</tex> путь во вспомогательной в слоистой сети является кратчайшим путём в исходной, из свойств обхода в ширину.[[Файл:Слоистая_сеть.png|300px 500px |thumb|center| Слоистая сеть с пятью слоями. <tex>s = 0, t = 6</tex>]]<br/> В примере ребрарёбра, обозначенные пунктиром, не входят в слоистую сеть. Слоистую сеть для графа <tex>G</tex> будем называть '''вспомогательной сетью'''.

#[[Алгоритм поиска блокирующего потока в ациклической сети|Найдем Найдём блокирующий поток ]] <tex>f'</tex> в <tex>G_L</tex>.]].#Дополним поток <tex>f</tex> найденным потоком <tex>f'</tex> и перейдем перейдём к шагу 2.

Проведём доказательство от противного. Пусть длина кратчайшего пути из истока в сток останется неизменной после очередной фазы алгоритма. Вспомогательная сеть строится по остаточной. Из предположения следует, что в остаточной сети будет будут содержаться только рёбра остаточной сети перед выполнением данной фазы, либо обратные к ним. Из этого получаем, что нашёлся <tex>s \leadsto t</tex> путь, который не содержит насыщенных рёбер и имеет ту же длину, что и кратчайший путь. Но этот путь должен был быть «заблокирован» блокирующим потоком, чего не произошло. Получили противоречие. Значит длина изменилась.

Таким образом, в зависимости от того, каким алгоритмом нахождения блокирующего потока мы пользовались, весь алгоритм Диница может выполняться за <tex>O(VE^2)</tex> или за <tex>O(V^2E)</tex>. Также возможно достичь асимптотики <tex>O(VE\log V)</tex>, если использовать [[Link-Cut_Tree | динамические деревья Слетора и Тарьяна]].

bfs() В данной реализации не строится вспомогательная сеть <tex>Q \leftarrow \emptysetG_L</tex> , а вычисляются значения <tex>Qd[u]</tex>.push({{---}} кратчайших путей <tex>s</tex>) while <tex>Q \ne \emptyset</tex> <tex>leadsto u \leftarrow Q</tex>.pop <tex>for (v :</tex> поток из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> положителен и <tex>v</tex> не посещена) <tex>dist[v] \leftarrow dist[u] + 1 </tex> <tex>Q</tex>.push(<tex>v</tex>) <tex>Q</tex>.pop()

makeGl() <tex>dist \leftarrow 0c[u][v]</tex> bfs{{---}} пропускная способность ребра <tex>(uv)</tex>.

algorithmDinica<tex>f[u][v]</tex> {{---}} поток через ребро <tex>(uv)</tex>. <tex>p[u]</tex> {{---}} [[Алгоритм_поиска_блокирующего_потока_в_ациклической_сети#.D0.A3.D0.B4.D0.B0.D0.BB.D1.8F.D1.8E.D1.89.D0.B8.D0.B9_.D0.BE.D0.B1.D1.85.D0.BE.D0.B4 | номер первого неудалённого ребра, идущего из u]]  '''bool''' bfs(): заполняем массив d значениями, равными <tex>flow \leftarrow 0infty</tex> makeGl d[s] = 0 Q.push(s) '''while ''' !Q.isEmpty u = Q.pop() '''for''' <tex>(uv) \in E(G)</tex> '''if''' f[u][v] < c[u][v] '''and''' d[v] == <tex>\infty</tex> d[v] = d[u] + 1 Q.push(v) '''return''' d[t] != <tex>\infty</tex> достижима  <font color="darkgreen">// поиск блокирующего потока // u {{---}} номер вершины // minC {{---}} минимальная пропускная способность дополняющей сети на пройденном dfs пути</font> '''int''' dfs(u, minC): '''if''' u == t '''or''' minC == 0 Ищем блокирующий поток '''return''' minC Меняем поток '''for''' v = p[u] '''to''' <tex>|V(G)| - 1</tex> '''if''' d[v] == d[u] + 1 <font color="darkgreen">// это условие эквивалентно поиску во вспомогательной слоистой сети</font> delta = dfs(v, min(minC, c[u][v] - f[u][v])) '''if''' delta != 0 f[u][v] += delta <font color="darkgreen">/tex/ насыщаем рёбра по пути dfs</font> makeGlf[v][u] -= delta '''return''' delta p[u]++ '''return''' 0  '''int''' findMaxFlow(): maxFlow = 0 вывести поток '''while''' bfs() <font color="darkgreen">// пересчитываем d[i], заодно проверяем достижима ли t из s</font> заполняем p нулями flow = dfs(s, <tex>\infty</tex>) '''while''' flow != 0 maxFlow += flow flow = dfs(s, <tex>f\infty</tex>) '''return''' maxFlow

*[http://wwwru.e-maxxwikipedia.ruorg/algowiki/dinic Алгоритм_Диница Википедия {{---}} Алгоритм Диница на e-maxx.ru]*[http://ruwww.wikipediae-maxx.orgru/wikialgo/Алгоритм_Диница dinic MAXimal::algo::Алгоритм Диница на ru.wikipedia.org]