Редактирование: Схемная сложность и класс P/poly

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
== Определения ==
 
== Определения ==
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex> \mathrm{PSIZE} </tex> {{---}} класс языков, разрешимых семейством [[Реализация_булевой_функции_схемой_из_функциональных_элементов|логических схем]] <tex> \{C_n\}_{n>0} </tex> полиномиального размера с n входами и одним выходом.
+
<tex>P/poly=\{L | \forall n </tex> существует логическая схема <tex> C_n </tex> с <tex> n </tex> входами и одним выходом такая, что:
 
+
#размеры <tex> C_n \leqslant p(n)</tex>;
<tex> \mathrm{PSIZE} =\{L \bigm| \forall n </tex> <tex> \exists C_n </tex>:
+
#<tex>x \in L \iff C_{|x|}(x) = 1 \}</tex>.  
#<tex> |C_n| \leqslant p(n)</tex>, где <tex> p </tex> {{---}} полином;
+
}}
#Число входов в схеме <tex> C_n </tex> равно <tex> n </tex>;
 
#Каждая схема <tex> C_n </tex> имеет один выход;
 
#<tex>x \in L \Leftrightarrow C_{|x|}(x) = 1 \}</tex>.  
 
}}  
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex> \mathrm{C} </tex> {{---}} сложностный класс, <tex> f </tex> {{---}} функция. Тогда <tex> \mathrm{C}/f = \{L \bigm| </tex> существуют подсказки <tex> a_0, a_1, \ldots , a_n, \ldots </tex> и программа <tex> p </tex>, удовлетворяющая ограничениям <tex> \mathrm{C} </tex>:
+
Пусть C {{---}} сложностный класс, f {{---}} функция. Тогда <tex> C/f = \{L| </tex> существуют <tex> a_0, a_1, .. , a_n, .. , </tex> программа p, удовлетворяющая ограничениям C:
 
#<tex>|a_i| \leqslant f(i) </tex>;
 
#<tex>|a_i| \leqslant f(i) </tex>;
#<tex> x \in L \Leftrightarrow p(x, a_{|x|})=1 \}</tex>.  
+
#<tex> x \in L \iff p(x, a_{|x|})=1 </tex>.  
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex> \mathrm{P/poly} = \bigcup\limits_{p \in poly} \mathrm{P}/p </tex>.  
+
Пусть <tex> F = \{f_i\}</tex>. Тогда <tex> C/F = \bigcup\limits_{f \in F} C/f </tex>.  
 
}}
 
}}
  
Строка 28: Строка 23:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex> \mathrm{P} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>.
+
<tex> P \subset P/poly </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex> L \in \mathrm{P} </tex>. Тогда существует машина Тьюринга <tex> M </tex>, распознающая язык <tex> L </tex>. Составим логическую схему для <tex> M </tex>, как мы сделали в [[Примеры_NP-полных_языков._Теорема_Кука|теореме Кука]], ее размеры ограничены полиномом, она допускает только слова из языка. Отсюда следует, что <tex> \mathrm{P} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>.
+
<tex> L \in P \Rightarrow \exists </tex> Машина Тьюринга m такая, что <tex> L(m)=L </tex>. В [[Примеры_NP-полных_языков._Теорема_Кука|теореме Кука]] мы показали, что для машины Тьюринга можно составить логическую схему. Отсюда следует, что <tex> P \subset P/poly </tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex> \mathrm{PSIZE} = \mathrm{P/poly} </tex>.
+
Схемная сложность полином <tex> \subset P/poly</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Докажем, что <tex> \mathrm{PSIZE} \subset \mathrm{P/poly} </tex>. <br>
+
<tex> L \in </tex> схемная сложность полином. Тогда <tex> \exists C_0, C_1, .., C_n, .. </tex>. Запишем программу p.
Пусть <tex> L \in \mathrm{PSIZE} </tex>, <tex> x </tex> {{---}} входная строка. Тогда для <tex> L </tex> существуют логические схемы <tex> C_0, C_1, .., C_n, .. </tex>. В качестве подсказки для <tex> x </tex> предоставим логическую схему <tex> C_{|x|} </tex>. Программа <tex> p </tex> получает на вход <tex> x </tex> и <tex> C_{|x|} </tex> и возвращает значение, вычисляемое <tex> C_{|x|} </tex> для входа <tex> x </tex>. Запишем программу
+
  <tex> p(x, C_{|x|}) </tex>:
+
  <tex> p(x, C_{|x|}): </tex>
     '''return''' <tex>C_{|x|}(x) </tex>
+
     '''return''' 1;
  
Логическая схема <tex> C_{|x|} </tex> имеет полиномиальный размер. Оба условия для <tex> \mathrm{P/poly} </tex> выполнены, <tex> \mathrm{PSIZE} \subset \mathrm{P/poly} </tex>. <br>
 
<br>
 
Докажем, что <tex> \mathrm{P/poly} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>. <br>
 
Пусть <tex> L \in \mathrm{P/poly} </tex>, <tex> x </tex> {{---}} входная строка. Тогда для <tex> L </tex> существуют подсказки <tex> a_0, a_1, .. , a_n, .. </tex>. Программа <tex> p </tex> по входу <tex> x </tex> и подсказке <tex> a_{|x|} </tex> определяет принадлежность <tex> x </tex> языку <tex> L </tex>. Зафиксируем длину входной строки <tex> x </tex> как <tex> n </tex>. Теперь запишем <tex> p </tex> в виде логической схемы <tex> C_m </tex> ( <tex> m = n + |a_n| </tex>), которая принимает на вход слова длины <tex> n </tex> и подсказку <tex> a_n </tex>. Полученная схема будет полиномиального размера. Зашьем подсказку в самой схеме, то есть впишем в нее значения битов подсказки. Получим схему <tex> C_n </tex> полиномиального размера, принимающую слова длины <tex> n </tex> и определяющую их принадлежность языку <tex> L </tex>. Такие схемы можно получить для любой длины входа. Значит, <tex> \mathrm{P/poly} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>.
 
 
}}
 
}}
  
{{Лемма
+
{{Теорема
|statement=
 
Любой унарный язык принадлежит <tex> \mathrm{P/poly} </tex>.
 
|proof=
 
Рассмотрим произвольный унарный язык <tex> L \subset \{1\}^* </tex>. Подсказкой для слова <tex> x </tex> будет единица, если слово длины <tex> |x| </tex> есть в <tex> L </tex>, иначе ноль. Машина Тьюринга получит на вход слово <tex> x </tex> и подсказку для слов длины <tex> |x| </tex>. Теперь произведем проверку, что <tex> x </tex> действительно из нашего унарного алфавита. Если это не так, то сразу же не допустим слово, иначе выведем значение подсказки. <br>
 
Таким образом, любой унарный язык принадлежит <tex> \mathrm{P/poly} </tex>. 
 
}}
 
 
 
{{Лемма
 
 
|statement=
 
|statement=
<tex> \mathrm{P/poly} </tex> содержит неразрешимые языки.
+
<tex> P/poly \subset </tex> схемная сложность полином.
 
|proof=
 
|proof=
Рассмотрим произвольный неразрешимый язык <tex> L \subset \{0, 1\}^* </tex>. Построим язык <tex> A </tex> следующим образом: <tex> A = \{ 1^n | </tex> бинарное представление <tex> n </tex> принадлежит <tex> L \} </tex>. Унарный язык <tex> A \in \mathrm{P/poly} </tex>, но то же время <tex> A </tex> неразрешим, иначе можно было бы разрешить <tex> L </tex>. <br>
 
Получается, что <tex> \mathrm{P/poly} </tex> содержит неразрешимые языки.
 
 
}}
 
}}
[[Категория: Теория сложности]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)