Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Схемная сложность и класс P/poly

1854 байта добавлено, 15:31, 5 июня 2012
Теоремы
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{PSIZE} </tex> {{---}} класс языков, разрешимых семейством [[Реализация_булевой_функции_схемой_из_функциональных_элементов|логических схем]] <tex> \{C_n\}_{n>0} </tex> полиномиального размера с n входами и одним выходом, то есть: . <tex> \mathrm{PSIZE} =\{L \bigm| \forall n </tex> <tex> \exists C_n </tex>:
#<tex> |C_n| \leqslant p(n)</tex>, где <tex> p </tex> {{---}} полином;
#Input Число входов в схеме <tex> (C_n) = </tex> равно <tex> n </tex>;#Output Каждая схема <tex> (C_n) = 1 </tex>имеет один выход;#<tex>x \in L \iff Leftrightarrow C_{|x|}(x) = 1 \}</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \mathrm{C} </tex> {{---}} сложностный класс, <tex> f </tex> {{---}} функция. Тогда <tex> \mathrm{C}/f = \{L\bigm| </tex> существуют подсказки <tex> a_0, a_1, \ldots , a_n, \ldots </tex> и программа <tex> p </tex>, удовлетворяющая ограничениям <tex> \mathrm{C} </tex>:
#<tex>|a_i| \leqslant f(i) </tex>;
#<tex> x \in L \iff Leftrightarrow p(x, a_{|x|})=1 \}</tex>.
}}
|proof=
Докажем, что <tex> \mathrm{PSIZE} \subset \mathrm{P/poly} </tex>. <br>
Пусть <tex> L \in \mathrm{PSIZE} </tex>, <tex> x </tex> {{---}} входная строка. Тогда для <tex> L </tex> существуют логические схемы <tex> C_0, C_1, .., C_n, .. </tex>. В качестве подсказки для <tex> x </tex> предоставим логическую схему <tex> C_{|x|} </tex>. Программа <tex> p </tex> получает на вход <tex> x </tex> и <tex> C_{|x|} </tex> и возвращает значение, вычисляемое <tex> C_{|x|} </tex> для входа <tex> x </tex>. Запишем программу
<tex> p(x, C_{|x|}) </tex>:
'''return''' <tex>C_{|x|}(x) </tex>
}}
{{Лемма
|statement=
Любой унарный язык принадлежит <tex> \mathrm{P/poly} </tex>.
|proof=
Рассмотрим произвольный унарный язык <tex> L \subset \{1\}^* </tex>. Подсказкой для слова <tex> x </tex> будет единица, если слово длины <tex> |x| </tex> есть в <tex> L </tex>, иначе ноль. Машина Тьюринга получит на вход слово <tex> x </tex> и подсказку для слов длины <tex> |x| </tex>. Теперь произведем проверку, что <tex> x </tex> действительно из нашего унарного алфавита. Если это не так, то сразу же не допустим слово, иначе выведем значение подсказки. <br>
Таким образом, любой унарный язык принадлежит <tex> \mathrm{P/poly} </tex>.
}}
 
{{Лемма
|statement=
<tex> \mathrm{P/poly} </tex> содержит неразрешимые языки.
|proof=
Рассмотрим произвольный неразрешимый язык <tex> L \subset \{0, 1\}^* </tex>. Построим язык <tex> A </tex> следующим образом: <tex> A = \{ 1^n | </tex> бинарное представление <tex> n </tex> принадлежит <tex> L \} </tex>. Унарный язык <tex> A \in \mathrm{P/poly} </tex>, но то же время <tex> A </tex> неразрешим, иначе можно было бы разрешить <tex> L </tex>. <br>
Получается, что <tex> \mathrm{P/poly} </tex> содержит неразрешимые языки.
}}
[[Категория: Теория сложности]]
Анонимный участник

Навигация