689
правок
Изменения
м
{{В разработке}}
Нет описания правки
[[Предельный переход в классе измеримых функций|<<]][[Классические теоремы теории измеримых функций|>>]]
Покажем, что он равен нулю. Или, более общий факт: <tex>\mu B_m \to \mu B = 0</tex>.
Для этого воспользуемся тем, что <tex>\sup \mu E</tex> {{---}} конечен.
Так как <tex>B = \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m</tex>, то
Значит, <tex>\overline B = \overline B_1 \cup (\overline B_2 \setminus \overline B_1) \cup (\overline B_3 \setminus \overline B_2) \cup \ldots</tex>.
<tex>\overline B \subset E</tex>. Значит, <tex>\mu \overline B \leq \mu E < +\infty</tex>.
По <tex>\sigma</tex>-аддитивности, <tex>\mu\overline B = \mu\overline B_1 + \mu(\overline B_2 \setminus\overline B_1) + \mu(\overline B_3 \setminus \overline B_2) + \cdots</tex>.
<tex>\mu\overline B = \mu\overline B_1 - \mu \overline B_1 + \mu\overline B_2 - \mu \overline B_2 + \mu\overline B_3 - \cdots</tex>
Так как частичная сумма этого ряда с номером <tex> m </tex> — не что иное, как <tex> \mu \overline B_m </tex>, то <tex> \mu \overline B_m \rightarrow \mu \overline B </tex>.
<tex>\mu B_m = \mu E - \mu \overline B_m</tex>, <tex>\mu B = \mu E - \mu \overline B</tex>, отсюда <tex>\mu B_m \to \mu B</tex>.
<tex> \mu E < +\infty </tex> — существенно.
|proof=
Рассмотрим функции <tex>f_n(x)=\begin{cases}0 &, 0 \leq x < n\\1 &, x\geq n\end{cases}</tex>, <tex>E = \mathbb{R}^_+</tex>.
При фиксированном <tex>x</tex>, для всех <tex>n > N: n > x \Rightarrow f_n(x) = 0</tex>. Значит, <tex>f_n(x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex> всюду на <tex>\mathbb{R}^_+</tex>. <tex>\lambda(\mathbb{R^}_+}) = +\infty</tex>
Возьмем <tex>\delta=\frac12</tex>, <tex>E(|f_n - f|\geq \delta) = \mathbb{R}^_+(|f_n(x)| \geq \frac12) = [n; +\infty)</tex>
Значит, <tex>\lambda E(|f_n-f|\geq \delta) = +\infty</tex>
Замечание: даже в случае конечной меры <tex> E </tex> последовательность функций, сходящаяся по мере, может не иметь предела ни в одной точке.
== Единственность предела по мере ==
{{Теорема
|statement=
Если последовательность измеримых функций <tex>f_n \colon E \to \mathbb R</tex> стремится по мере к <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, то <tex>f = g</tex> почти всюду на <tex>E</tex>
|proof=
Определим следующие множества:
* <tex>P_n = E(|f - g| \ge \frac1n)</tex>
* <tex>P'_{nk} = E(|f_k - f| \ge \frac1{2n})</tex>
* <tex>P''_{nk} = E(|f_k - g| \ge \frac1{2n})</tex>
Заметим, что <tex>P_n \subset (P'_{nk} \cup P''_{nk})</tex>: если <tex>x \notin P'_{nk} \cup P''_{nk}</tex>, то <tex>|f_k(x) - f(x)| < \frac1{2n}</tex> и <tex>|f_k(x) - g(x)| < \frac1{2n}</tex>, а тогда <tex>|f(x) - g(x)| < |f(x) - f_k(x)| + |g(x) - f_k(x)| = \frac1n</tex>, т.е. <tex>x \notin P_n</tex>.
По полуаддитивности меры <tex>\mu P_n \le \mu P'_{nk} + \mu P''_{nk}</tex>. Сумма в правой части стремится к нулю при <tex>k \rightarrow \infty</tex>, следовательно, <tex>\mu P_n = 0</tex>.
Если взять <tex> P_n </tex> такие, что их меры образуют сходящийся ряд, то, поскольку <tex>E(f \neq g) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty P_n</tex>, то <tex>\mu E(f \neq g) \le \sum\limits_{n = 1}^\infty \mu P_n = 0</tex>, что и требовалось доказать.
}}
[[Предельный переход в классе измеримых функций|<<]][[Классические теоремы теории измеримых функций|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
