Изменения

Рассмотрим функции <tex>f_n(x)=\begin{cases}0 &, 0 \leq x < n\\1 &, x\geq n\end{cases}</tex>, <tex>E = \mathbb{R}^_+</tex>.

При фиксированном <tex>x</tex>, для всех <tex>n > N: n > x \Rightarrow f_n(x) = 0</tex>. Значит, <tex>f_n(x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex> всюду на <tex>\mathbb{R}^_+</tex>. <tex>\lambda(\mathbb{R^}_+}) = +\infty</tex>

Возьмем <tex>\delta=\frac12</tex>, <tex>E(|f_n - f|\geq \delta) = \mathbb{R}^_+(|f_n(x)| \geq \frac12) = [n; +\infty)</tex>

* <tex>P_n = E(|f - g| \ge 1/n\frac1n)</tex>* <tex>P'_{nk} = E(|f_k - f| \ge 1/\frac1{2n})</tex>* <tex>P''_{nk} = E(|f_k - g| \ge 1\frac1{2n})</tex> Заметим, что <tex>P_n \subset (P'_{nk} \cup P''_{nk})</tex>: если <tex>x \notin P'_{nk} \cup P''_{nk}</tex>, то <tex>|f_k(x) - f(x)| < \frac1{2n}</tex> и <tex>|f_k(x) - g(x)| < \frac1{2n}</tex>, а тогда <tex>|f(x) - g(x)| < |f(x) - f_k(x)| + |g(x) - f_k(x)| = \frac1n</tex>, т.е. <tex>x \notin P_n</tex>.

Заметим, что По полуаддитивности меры <tex>\mu P_n \subset (le \mu P'_{nk} + \cup mu P''_{nk})</tex>: если . Сумма в правой части стремится к нулю при <tex>x k \notin P'_{nk} rightarrow \cup P''_{nk}infty</tex>, то <tex>|f_k(x) - f(x)| < 1/2n</tex> и <tex>|f_k(x) - g(x)| < 1/2n</tex>следовательно, а тогда <tex>|f(x) - g(x)| < |f(x) - f_k(x)| + |g(x) - f_k(x)| = 1 / n</tex>, т.е. <tex>x \notin mu P_n= 0</tex>.

По полуаддитивности меры Если взять <tex>\mu P_n \le \mu P'_{nk} + P''_{nk}</tex>. Сумма в правой части стремится к нулю при <tex>k \rightarrow \infty</tex>такие, что их меры образуют сходящийся ряд, следовательното, <tex>\mu P_n = 0</tex>. Поскольку поскольку <tex>E(f \neq g) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty P_n</tex>, то <tex>\mu E(f \neq g) \le \sum\limits_{n = 1}^\infty \mu P_n = 0</tex>, что и требовалось доказать.