689
правок
Изменения
м
→Теорема Дини
{{В разработке}}
В этом параграфе установим ряд результатов, гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) D_n(t) dt = 0</tex>, что равносильно <tex>s_nS_n(f, x) \to sS</tex>.
__TOC__
Дини
|statement=
<tex>f\in L_1</tex>, <tex>s S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt< +\infty</tex> , где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x -t) --}} конечен2S</tex> . Тогда <tex>s S = \lim\limits_{n\to\infty} s_nS_n(f, x)</tex>
|proof=
<tex>s_nS_n(f, x) - s S = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac1{2\pi} \frac{\sin(n + 1/2)t}{\sin t/2} dt</tex>
<tex>= \frac1{2\pi} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \cos nt dt + \frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt</tex>
}}
Выведем некоторые следствия:
=== Следствие о четырех пределах ===
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке точка <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы)регулярна, а также существуют <tex>\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex> и <tex>\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
|proof=
''Примечание'': Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке <tex>x</tex> у <tex>f</tex> есть производная.
Доказательство сводится к проверке условий Дини для <tex>s = \frac{f(x+0)-+f(x-0)}{2}</tex>
<tex>\frac{|\varphi_x(t)|}t \le \frac{|f(x + t) - f(x + 0)|}{t} + \frac{|f(x - t) - f(x - 0)|}{t}</tex>
Первое слагаемое стремится на бесконечности к <tex>\alpha</tex>, второе {{---}} к <tex>\beta</tex>.
Значит, <tex>\ \frac{|\varphi_x(t)|}t</tex> ограничена справа от нуля и суммируема, то есть, теорема Дини применима.
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>x</tex> {{---}} регулярная точка функции и <tex>s_nS_n(f, x) \to sS</tex>. Тогда <tex>s S = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
|proof=
<tex>x</tex>{{---}} регулярная точка <tex>\Rightarrow</tex> по следствию теоремы Фейера,
Но суммы Фейера {{---}} способ средних арифметических для сумм ряда Фурье.
Способ средних арифметических регулярен: то есть, если <tex>s_nS_n(f, x) \to sS</tex>, то и <tex>\sigma_n(f, x) \to sS</tex>.
Тогда, по единственности предела, <tex>sS=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>
}}
