Сходимость цепных дробей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
 
Строка 1: Строка 1:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Последовательность из подходящих дробей для <tex>\langle a_0, a_1,\cdots\rangle</tex>, где <tex>a_0\in\mathbb{Z}; a_i\in\mathbb{N}, i>0</tex>, имеет предел.
+
Для любой последовательности <tex>a_0, a_1, \cdots</tex>, удовлетворяющей условию <tex>a_0\in\mathbb{Z}; a_i\in\mathbb{N}, i>0</tex>,
 +
последовательность подходящих дробей для [[цепная дробь|цепной дроби]] <tex>\langle a_0, a_1,\cdots\rangle</tex> имеет предел.
 
|proof=
 
|proof=
 
Возьмём нечётное <tex>n</tex>. Для него верно <tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n =(-1)^{n+1}=1>0</tex>. Тогда <tex>\frac{P_n}{Q_n}>\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}</tex>. Аналогично <tex>\frac{P_n}{Q_n}>\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}</tex>. Также верно, что <tex>\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}</tex> и <tex>\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}=\frac{1}{Q_{n+1}Q_n}</tex>. Вычитая одно из другого получаем <tex>\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{Q_{n+1}-Q_{n-1}}{Q_{n-1}Q_nQ_{n+1}}>0</tex>. Получаем, что последовательность из подходящих дробей с чётным номером возрастает. Аналогично последовательность из подходящих дробей с нечётным номером убывает. Следовательно последовательность подходящих дробей с чётным номером ограничена сверху, а с нечётным ограничена снизу. Значит они имеют предел. Но <tex>\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}\rightarrow 0</tex>, значит эти пределы совпадают.
 
Возьмём нечётное <tex>n</tex>. Для него верно <tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n =(-1)^{n+1}=1>0</tex>. Тогда <tex>\frac{P_n}{Q_n}>\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}</tex>. Аналогично <tex>\frac{P_n}{Q_n}>\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}</tex>. Также верно, что <tex>\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}</tex> и <tex>\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}=\frac{1}{Q_{n+1}Q_n}</tex>. Вычитая одно из другого получаем <tex>\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{Q_{n+1}-Q_{n-1}}{Q_{n-1}Q_nQ_{n+1}}>0</tex>. Получаем, что последовательность из подходящих дробей с чётным номером возрастает. Аналогично последовательность из подходящих дробей с нечётным номером убывает. Следовательно последовательность подходящих дробей с чётным номером ограничена сверху, а с нечётным ограничена снизу. Значит они имеют предел. Но <tex>\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}\rightarrow 0</tex>, значит эти пределы совпадают.
Строка 8: Строка 9:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Для любого вещественного числа <tex>\alpha</tex> можно построить цепную дробь
+
Для любого вещественного числа <tex>\alpha</tex> можно построить цепную дробь.
 
|proof=
 
|proof=
 
Пусть <tex>a_0=[\alpha]</tex>. Далее <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-a_0}</tex>. И определим все числа: <tex>a_i=[\alpha_i]</tex> и <tex>\alpha_i=\frac{1}{\alpha_{i-1}-a_{i-1}}</tex>.
 
Пусть <tex>a_0=[\alpha]</tex>. Далее <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-a_0}</tex>. И определим все числа: <tex>a_i=[\alpha_i]</tex> и <tex>\alpha_i=\frac{1}{\alpha_{i-1}-a_{i-1}}</tex>.

Текущая версия на 08:21, 7 июля 2010

Теорема:
Для любой последовательности [math]a_0, a_1, \cdots[/math], удовлетворяющей условию [math]a_0\in\mathbb{Z}; a_i\in\mathbb{N}, i\gt 0[/math], последовательность подходящих дробей для цепной дроби [math]\langle a_0, a_1,\cdots\rangle[/math] имеет предел.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Возьмём нечётное [math]n[/math]. Для него верно [math]P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n =(-1)^{n+1}=1\gt 0[/math]. Тогда [math]\frac{P_n}{Q_n}\gt \frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}[/math]. Аналогично [math]\frac{P_n}{Q_n}\gt \frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}[/math]. Также верно, что [math]\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}[/math] и [math]\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}=\frac{1}{Q_{n+1}Q_n}[/math]. Вычитая одно из другого получаем [math]\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{Q_{n+1}-Q_{n-1}}{Q_{n-1}Q_nQ_{n+1}}\gt 0[/math]. Получаем, что последовательность из подходящих дробей с чётным номером возрастает. Аналогично последовательность из подходящих дробей с нечётным номером убывает. Следовательно последовательность подходящих дробей с чётным номером ограничена сверху, а с нечётным ограничена снизу. Значит они имеют предел. Но [math]\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}\rightarrow 0[/math], значит эти пределы совпадают.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Для любого вещественного числа [math]\alpha[/math] можно построить цепную дробь.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]a_0=[\alpha][/math]. Далее [math]\alpha_1=\frac{1}{\alpha-a_0}[/math]. И определим все числа: [math]a_i=[\alpha_i][/math] и [math]\alpha_i=\frac{1}{\alpha_{i-1}-a_{i-1}}[/math].

Последовательность подходящих дробей имеет предел. Докажем, что он равен [math]\alpha[/math].

По тому какие мы брали [math]\alpha_i[/math] имеем [math]\alpha=[\alpha]+\frac{1}{[\alpha_1]+\frac{1}{[\alpha_2]+\cdots+\frac{1}{\alpha_k}}}[/math]. Теперь если взять вместо [math]\alpha_k[/math] целую часть, то есть [math][\alpha_k][/math], то дробь [math]\frac{1}{\alpha_k}[/math] увеличится, а дробь [math]\frac{1}{[\alpha_{k-1}]+\frac{1}{\alpha_k}}[/math] уменьшится. И так далее. Получим, что подходящая дробь [math]\frac{P_n}{Q_n}\lt \alpha[/math] при чётном [math]n[/math] и [math]\frac{P_n}{Q_n}\gt \alpha[/math] при нечётном [math]n[/math]. Значит пределом подходящих дробей будет [math]\alpha[/math].
[math]\triangleleft[/math]