Изменения
Нет описания правки
$C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$
{{Определение
|definition=
Пусть $X$ — линейное пространство, . Тогда если существует счётное множество $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если полунорм, такое, что для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, то $X$ называют '''счетно-нормированным пространством'''}} Пример:* $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$ {{Утверждение|statement=Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.|proof=# Очевидно, $\rho(x, y) \ge 0$, рассмотрим, когда $\rho(x, y) = 0$, это значит, что $\forall n: p_n(x - y) = 0$, по определению счетно-нормированного пространства это означает, что $x - y = 0 \implies x = y$.# Очевидно# Проверяется аналогично [[Метрические пространства#rinfcoordconv | доказательства метризуемости $R^\infty$]], рассмотрим функцию $f(t) = \frac{t}{1 + t}$, для нее выполняется $f(t_1) < f(t_2)$ при $t_1 < t_2$ и $f(t_1 + t_2) < f(t_1) + f(t_2)$ для всех $t_1, t_2 > 0$. Рассмотрим каждое $p_n(x - z) = p_n((x - y) + (y - z)) \le p_n(x - y) + p_n(y - z)$. Тогда $f(p_n(x - z)) \le f(p_n(x - y) + p_n(y - z)) \le f(p_n(x - y)) + f(p_n(y - z))$. Тогда и $\sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - z)}{1 + p_n(x - z)} \le \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - y)}{1 + p_n(x - y)} + \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(y - z)}{1 + p_n(y - z)}$, что и требовалось доказать.}} {{Определение|definition='''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.<br> Две системы полунорм '''эквивалентны''', если они порождают одну и ту же сходимость.}} Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$. Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных, но обратное в общем случае неверно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм? Если такая норма есть, то говорят, что данное счетно-нормированное пространство нормируемо. {{Определение|definition=Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(x)$.
}}
Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $x = \lim\limits_{p \to \infty} x_p $ определеяется как то, что все $p_n(x - x_p) \xrightarrow[p \to \infty]{} 0$, то есть $p$ гарантирует единственность предела: если можно преобразовать в $x' q_n = \limsum\limits_{p \to \inftyk=1} x_p^n p_k$, все $p_nкоторая определяет ту же сходимость, что и исходная (x' - x_p) \to 0$видимо, $p_n(x - x'это очевидно) \le p_n(x - x_p) + p_n(x' - x_p)$видимо, то есть при стремлении $p$ к нулюэто можно, $p_n(x - x'так как сумма полунорм является полунормой)$ тоже стремится к нулю и $x = x'$.
{{Определение
|definition=
}}
{{Теорема
|about=критерий нормируемости счетно-нормированного пространства
|statement=
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.
|proof=
В прямую сторону: пусть $X$ нормируемо нормой <math> \| \cdot \| </math>. Тогда по определению нормируемости счетно-нормированного пространства, система полунорм из <math>\| \| </math> эквивалентна системе полунорм $p$. Тогда <math> \| \| </math> мажорируется некоторой полунормой $p_N$ по предыдущей теореме, то есть существует постоянная $C$ такая, что <math>\forall x \in X: \|x\| \le C p_N(x)</math>. Покажем от противного, что в этой системе существенных полунорм не может быть больше $N$: пусть такая полунорма с номером $m > N$ есть, тогда она должна мажорироваться полунормой <math> \| \| </math>, то есть существует постоянная $D$ такая, что <math> \forall x \in X: p_m(x) \le D \|x\| </math>. Но тогда, комбинируя два неравенства, получим <math> \forall x \in X: p_m(x) \le C D p_N(x) </math> , то есть полунорма номером $m$ мажорируется полунормой с номером $N < m$, то есть она не может быть существенной.
В обратную сторону: пусть в системе $p$ конечное число существенных полунорм. Возьмем из существенных полунорм полунорму с наибольшим номером, пусть это $p_N$. Пусть $p_N(x) = 0$, тогда все полунормы с меньшими $N$ номерами также равны нулю по монотонности. Полунормы с большими номерами мажорируются $p_N$, так как $p_N$ по своему выбору последняя существенная полунорма, и тогда если $p_N(x) = 0$, все полунормы с большими номерами также равны нулю. Таким образом, из условия согласованности имеем $x = 0$ и полунорму $p_N$ можно взять как искомую норму.
}}