Изменения

Пусть $X$ — линейное пространство, . Тогда если существует счётное множество $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если полунорм, такое, что для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, то $X$ называют '''счетно-нормированным пространством'''}} Пример:* $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$ {{Утверждение|statement=Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.|proof=# Очевидно, $\rho(x, y) \ge 0$, рассмотрим, когда $\rho(x, y) = 0$, это значит, что $\forall n: p_n(x - y) = 0$, по определению счетно-нормированного пространства это означает, что $x - y = 0 \implies x = y$.# Очевидно# Проверяется аналогично [[Метрические пространства#rinfcoordconv | доказательства метризуемости $R^\infty$]], рассмотрим функцию $f(t) = \frac{t}{1 + t}$, для нее выполняется $f(t_1) < f(t_2)$ при $t_1 < t_2$ и $f(t_1 + t_2) < f(t_1) + f(t_2)$ для всех $t_1, t_2 > 0$. Рассмотрим каждое $p_n(x - z) = p_n((x - y) + (y - z)) \le p_n(x - y) + p_n(y - z)$. Тогда $f(p_n(x - z)) \le f(p_n(x - y) + p_n(y - z)) \le f(p_n(x - y)) + f(p_n(y - z))$. Тогда и $\sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - z)}{1 + p_n(x - z)} \le \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - y)}{1 + p_n(x - y)} + \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(y - z)}{1 + p_n(y - z)}$, что и требовалось доказать.}}  {{Определение|definition='''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.<br> Две системы полунорм '''эквивалентны''', если они порождают одну и ту же сходимость.}} Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$.  Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных, но обратное в общем случае неверно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм? Если такая норма есть, то говорят, что данное счетно-нормированное пространство нормируемо. {{Определение|definition=Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(x)$.

Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $x = \lim\limits_{p \to \infty} x_p $ определеяется как то, что все $p_n(x - x_p) \xrightarrow[p \to \infty]{} 0$, то есть $p$ гарантирует единственность предела: если можно преобразовать в $x' q_n = \limsum\limits_{p \to \inftyk=1} x_p^n p_k$, все $p_nкоторая определяет ту же сходимость, что и исходная (x' - x_p) \to 0$видимо, $p_n(x - x'это очевидно) \le p_n(x - x_p) + p_n(x' - x_p)$видимо, то есть при стремлении $p$ к нулюэто можно, $p_n(x - x'так как сумма полунорм является полунормой)$ тоже стремится к нулю и $x = x'$.

Счетно-нормированные пространства можно нормировать как $\mathbb{R}^{\infty}Определение|definition=Полунорма $q$ '''мажорирует''' полунорму $p$: , если $\rhoexists C \forall x \in X: p(x, y) = \sumle C q(x)$.<br>Пусть заданы системы $\limits_{n=1p_n\}^, \{q_n\infty} $ на $X$, тогда $\{1 q_n\over 2^n} 2$ '''мажорирует''' $\{p_n(x - y) \over 1 + }$ если каждая полунорма из $\{p_n(x \}$ мажорируется какой- y)то полунормой из $\{q_n\}$.}}

Возникает вопрос в каком случае можно нормировать{{Утверждение|statement=Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга.|proof=В обратную сторону: существует нормарассмотрим любую полунорму $p_m$: по мажорируемости, сходимость в которой эквивалентна $\exists q_k \exists M: p_m(x_n - x) \le M q_k(x_n - x)$, но $q_k(x_n - x) \to 0$ по сходимости $x_n$ по системе полунорм$q$. TODO пшшш какая-то непонятная хрень про монотонность полунорм. Две системы полунорм эквивалентныАбсолютно симметрично для случая, если они порождают одну и ту же сходимостькогда $p$ мажорирует $q$.

Можно считатьВ прямую сторону: пусть системы $p$ и $q$ эквивалентны. Установим, что система полунорм удовлетворяет условию монотонности$q$ мажорирует $p$, то что $p$ мажорирует $q$ доказывается аналогично. Докажем от противного: пусть существует $p_{M}$, не мажорируемая ни одной полунормой из $q$, так как произвольную систему то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_M(x_n) > n q_n(x_n)$. По гомогенности(можно вынести константу) полунормы, если вместо $x_n$ взять $y_n = { p_n x_n \over p_M(x_n)}$ можно преобразовать в , неравенство все еще будет соблюдаться, а норма $p_M(y_n)$ будет равна $1$, то есть получили $1 > n q_n = (y_n)$ и последовательность $y_n$ по полунорме $p_M$ не сходится к 0. Покажем, что $y_n \to 0$ по полунормам системы $q$, то есть $\forall m: q_m \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$: для каждого конкретного $m$ возьмем члены $y$ начиная с $m$-того элемента, тогда $\forall n \ge m: q_m(y_n) \sumle q_n(y_n)$ (это по монотонности) $\limits_le {k=1\over n}^$ (по уже доказанному), устремив $n p_k\to \infty$получаем, которая определяет ту же сходимостьчто каждая конкретная полунорма стремится к нулю, что и исходная TODO: показать это чтолито есть по системе $p$ последовательность $y_n$ не сходится, а по $q$ — сходится, противоречие.}}

Пусть заданы системы Полунорма $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда в системе $\{q_n\}p$ '''мажорируетсущественна''' $\{p_n\}$ , если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $\forall p_n \exists q_{m_n} \forall x \in X: p_n(x) < c_n q_{m_n}(x)$, $c_nn$ — константаномерами.