Изменения

В прямую сторону: пусть $X$ нормируемо нормой $<math> \| \cdot \|$</math>. Тогда по определению нормируемости счетно-нормированного пространства, система полунорм из $<math>\| \|$ </math> эквивалентна системе полунорм $p$. Тогда $<math> \| \|$ </math> мажорируется некоторой полунормой $p_N$ по предыдущей теореме, то есть существует постоянная $C$ такая, что $<math>\forall x \in X: \|x\| \le C p_N(x)$</math>. Покажем от противного, что в этой системе существенных полунорм не может быть больше $N$: пусть такая полунорма с номером $m > N$ есть, тогда она должна мажорироваться полунормой $<math> \| \|$</math>, то есть существует постоянная $D$ такая, что $<math> \forall x \in X: p_m(x) \le D \|x\|$</math>. Но тогда, комбинируя два неравенства, получим $<math> \forall x \in X: p_m(x) \le C D p_N(x)$</math> , то есть полунорма номером $m$ мажорируется полунормой с номером $N < m$, то есть она не может быть существенной.

В обратную сторону: пусть в системе $p$ конечное число существенных полунорм. Возьмем из существенных полунорм полунорму с наибольшим номером, пусть это $p_N$. Пусть $p_N(x) = 0$, тогда все полунормы с меньшими $N$ номерами также равны нулю по монотонности. Полунормы с большими номерами мажорируются $p_N$, так как $p_N$ по своему выбору последняя существенная полунорма, и тогда если $p_N(x) = 0$, все полунормы с большими номерами также равны нулю. Таким образом, из условия согласованности имеем $x = 0$ и полунорму $p_N$ можно взять как искомую норму.