Редактирование: Счетчиковые машины, эквивалентность двухсчетчиковой машины МТ

{{Определение
|definition=
'''<tex>k</tex>-счётчиковой машиной''' называется набор <tex>A=\langle\Sigma, Q, s\in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \cup \{\varepsilon\} \times \{0,1\}^k \rightarrow Q \times \{ -1, 0, 1\}^k \rangle</tex>, где
*<tex>\Sigma</tex> {{---}} входной алфавит на ленте;
*<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний автомата;
*<tex>s</tex> {{---}} стартовое состояние автомата;
*<tex>T</tex> {{---}} множество допускающих состояний автомата;
*<tex>\delta</tex> — функция переходов, зависящая от символа на ленте, текущего состояния управляющего автомата и состояния счётчиков и осуществляющая переход в автомата в новое состояние и изменение состояния счётчиков.
Для каждого счётчика возможны четыре операции: увеличить на один, уменьшить на один, не изменять значение, проверить, является ли значение счетчика нулём.
Будем считать, что значение нулевых счётчиков уменьшать нельзя.
}}
По сути, <tex>k</tex>-счётчиковая машина является [[Стековые машины, эквивалентность двухстековой машины МТ|<tex>k</tex>-стековой машиной]] с односимвольным алфавитом.

== Эквивалентность двухстековой машины трёхсчётчиковой машине==
{{Лемма
|statement=Язык <tex>L</tex> допускается двухстековой машиной тогда и только тогда, когда он допускается трёхсчётчиковой машиной.
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex>

Для доказательства необходимо показать, что двухстековая машина имитируется на трёхсчётчиковой. Пусть <tex>\Pi</tex> {{---}} стековый алфавит, <tex>|\Pi|=P</tex>. Пронумеруем символы алфавита от <tex>0</tex> до <tex>P-1</tex>. Тогда стек можно рассматривать как целое число в системе счисления с основанием <tex>P</tex>.

Будем использовать два счётчика для хранения состояний двух стеков, а третий счетчик будем использовать для временных вычислений. Для стека существует три типа элементарных операций: положить символ в стек, снять символ со стека, проверить верхний символ стека. Рассмотрим реализацию этих операция на трёхсчётчиковой машине.
*'''Снять символ со стека'''. Для того, чтобы снять символ, необходимо разделить число, которым представлен стек, на <tex>P</tex>, отбросив остаток. 
*'''Добавить символ в стек'''. Для того, чтобы добавить символ, необходимо умножить число, которым представлен стек, на <tex>P</tex> и прибавить к нему номер символа, который добавляется на стек.
*'''Проверка верхнего символа стека'''. Для этого необходимо найти остаток от деления на <tex>P</tex>.

Опишем реализацию арифметических операций с счётчиком, использованных при описании имитации работы двухстековой машины, при помощи двух счётчиков и управляющего автомата.
*'''Разделить значение первого счётчика на число <tex>C</tex>, отбросив остаток.''' Пока первый счётчик не равен нулю, будем уменьшать его на один. При этом после каждых <tex>C</tex> успешных уменьшений значения первого счётчика будем увеличивать на один значение второго счётчика. Далее скопируем значение второго счётчика на первый: пока второй счётчик не равен нулю, уменьшаем его значение и увеличиваем значение первого счётчика. Очевидно, что при фиксированном <tex>C</tex> для данной операции может быть построен управляющий автомат.
*'''Умножить значение первого счётчика на число <tex>C</tex>.''' Будем уменьшать первый счётчик на один и увеличивать второй на <tex>C</tex>. Эти действия будем повторять, пока первый счётчик не равен нулю. Затем скопируем значение со второго счётчика на первый. Очевидно, что при фиксированном <tex>C</tex> для данной операции может быть построен управляющий автомат.
*'''Увеличить значение счётчика на <tex>C</tex>.''' Последовательно <tex>C</tex> раз увеличиваем значение счётчика на один. 
*'''Найти остаток от деления значения первого счётчика на число <tex>C</tex>.''' Рассмотрим автомат из <tex>C</tex> состояний. Пронумеруем состояние от <tex>0</tex> до <tex>C-1</tex>. Пусть <tex>0</tex> {{---}} стартовое состояние автомата. Скопируем значение с первого счётчика на второй. В случае если второй счётчик не нуль, автомат осуществляет переход из состояния <tex>i</tex> в состояние <tex>i+1</tex> (из состояния с номером <tex>C-1</tex> осуществляется переход в состояние с номером <tex>0</tex>), при этом значение второго счётчика уменьшается на один, а первого {{---}} увеличивается на один. Ясно, что в момент, когда третий счётчик станет равен нулю, управляющий автомат окажется в состоянии с номером, равным остатку от деления значения первого счётчика на <tex>C</tex>. 

Таким образом, мы можем имитировать работу двухстековой машины на трёхсчётчиковой.

<tex>\Leftarrow</tex>

Трёхсчётчиковая машина является частным случаем трёхстековой машины, а любая <tex>k</tex>-стековая машина эквивалента по вычислительной мощности двухстековой, следовательно, любой язык, допускаемый трёхсчётчиковой машиной, допускается двухстековой.    
}}

==Эквивалентность <tex>k</tex>-счётчиковой машины двухсчётчиковой ==
{{Лемма
|statement=Для любого <tex>k</tex> и для любой <tex>k</tex>-счётчиковой машины существует эквивалентная ей двухсчётчиковая машина.
|proof=
Для доказательства покажем, как имитировать <tex>k</tex>-счётчиковую машины на двухсчётчиковой. Пусть <tex>C_1, C_2, \ldots, C_k</tex> — значения счётчиков <tex>k</tex>-счётчиковой машины. Тогда состояние <tex>k</tex>-счётчиковой машины можно охарактеризовать одним числом <tex>2^{C_1}\cdot3^{C_2}\cdot \ldots \cdot p_k^{C_k}</tex>, где <tex>p_k</tex> {{---}} <tex>k</tex>-е простое число.
Тогда любое состояние k-счётчиковой машины можно хранить на одном счётчике, и использовать второй счётчик для временных вычислений.

Тогда элементарные операции на <tex>k</tex>-счётчиковой машине реализуются следующим образом.
*'''Увеличить <tex>i</tex>-й счётчик.''' Для этого необходимо умножить значение счётчика на <tex>p_i</tex>. 
*'''Уменьшить <tex>i</tex>-й счётчик.''' Для этого необходимо  поделить значение счётчика на <tex>p_i</tex>.
*'''Сравнить с нулём значение <tex>i</tex>-го счётчика.''' Для этого необходимо найти остаток от деления значения счётчика на <tex>p_i</tex> и сравнить его с нулём.
Операции умножения на константу, деления на константу и нахождения остатка от деления на константу значения счётчика при помощи одного вспомогательного счётчика описаны в предыдущей лемме.
Таким образом, для любого <tex>k</tex> и для любой <tex>k</tex>-счётчиковой машины существует эквивалентная ей двухсчётчиковая машина.
}}

== Эквивалентность двухсчётчиковой машины МТ ==
{{Теорема
|statement=Для любого перечислимого языка <tex>L</tex> существует двухсчётчиковая машина, которая распознает этот язык.
|proof=
Утверждение теоремы очевидно следует из двух описанных выше лемм и [[Стековые машины, эквивалентность двухстековой машины МТ|эквивалентности двухстековой машины машине Тьюринга]].
}}

==См. также ==
* [[Машина Тьюринга]]
* [[Стековые машины, эквивалентность двухстековой машины МТ]]

== Источники информации ==
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' — '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)

[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]