Счетчиковые машины, эквивалентность двухсчетчиковой машины МТ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Эквивалентность двухсчетчиковой машины машине Тьюринга)
Строка 7: Строка 7:
 
*<tex>T</tex> — множество допускающих состояний автомата;
 
*<tex>T</tex> — множество допускающих состояний автомата;
 
*<tex>\delta</tex> — функция переходов, зависящая от символа на ленте, текущего состояния управляющего автомата и состояния счётчиков и осуществляющая переход в автомата в новое состояние и изменение состояния счётчиков.
 
*<tex>\delta</tex> — функция переходов, зависящая от символа на ленте, текущего состояния управляющего автомата и состояния счётчиков и осуществляющая переход в автомата в новое состояние и изменение состояния счётчиков.
Для каждого счётчика возможны четыре операции: увеличить на один, уменьшить на один, не изменять значение, проверить является ли значение счетчика нулем.
+
Для каждого счётчика возможны четыре операции: увеличить на один, уменьшить на один, не изменять значение, проверить является ли значение счетчика нулём.
 
Будем считать, что значение нулевых счётчиков уменьшать нельзя.
 
Будем считать, что значение нулевых счётчиков уменьшать нельзя.
 
}}
 
}}
Строка 54: Строка 54:
  
 
==Источники==
 
==Источники==
Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений.
+
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' — '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)

Версия 06:17, 6 января 2012

Определение:
[math]k[/math]-счётчиковой машиной называется набор [math]A=\langle\Sigma, Q, s\in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \cup \{\varepsilon\} \times \{0,1\}^k \rightarrow Q \times \{ -1, 0, 1\}^k \rangle[/math], где
  • [math]\Sigma[/math] — входной алфавит на ленте;
  • [math]Q[/math] — множество состояний автомата;
  • [math]s[/math] — стартовое состояние автомата;
  • [math]T[/math] — множество допускающих состояний автомата;
  • [math]\delta[/math] — функция переходов, зависящая от символа на ленте, текущего состояния управляющего автомата и состояния счётчиков и осуществляющая переход в автомата в новое состояние и изменение состояния счётчиков.

Для каждого счётчика возможны четыре операции: увеличить на один, уменьшить на один, не изменять значение, проверить является ли значение счетчика нулём.

Будем считать, что значение нулевых счётчиков уменьшать нельзя.

По сути, [math]k[/math]-счётчиковая машина является [math]k[/math]-стековой машиной с односимвольным алфавитом.

Эквивалентность двухсчетчиковой машины машине Тьюринга

Лемма:
Язык [math]L[/math] допускается машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда он допускается трехсчётчиковой машиной.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Так как двухстековая машина эквивалентна машине Тьюринга, то достаточно показать, что трехсчётчиковая машина эквивалентна по вычислительной мощности двухстековой машине. Пусть стековая машина имеет стековый алфавит [math]\Pi[/math]. Тогда любое из состояний стеков можно считать числом в системе счисления с основанием [math]|\Pi|[/math]. Пусть первому стеку соответствует число на первом счётчике трехсчётчиковой машины, второму стеку — второе, а третий счётчик используется для временных вычислений. Тогда операции со стеком можно реализовать на трехсчётчиковой машине:

  • добавление символа в стек: умножить значение счётчика на [math]|\Pi|[/math] и прибавить число, соответствующее символу алфавита (цифре);
  • удаление символа из стека: целочисленно разделить значение счётчика на [math]|\Pi|[/math];
  • проверить верхний символ стека: найти остаток от деления значения счётчика на [math]|\Pi|[/math].

Все эти элементарные операции очевидно реализуются при помощи третьего счётчика. Например, рассмотрим операцию добавления символа в стек. Напишем программу для трехсчётчиковой машины, реализующую эту операцию.

 while (первый счётчик не ноль)
 {
    for (i = 0; i < [math]|\Pi|[/math]; ++i)
      увеличить третий счётчик;
    уменьшить первый счётчик;
 }
 for (i = 0; i < номер добавляемого символа в алфавите; ++i)
   увеличить третий счётчик;
 while (третий счётчик не ноль)
 {
    уменьшить третий счётчик;
    увеличить первый счётчик;
 }

По данной программе легко восстановить управляющий автомат счётчиковой машины, поскольку выполнение подпрограммы в псевдокоде зависит только от констант и значений счетчиков.

Аналогично реализуются остальные стековые операции. Таким образом получили, что для любой операции с двухстековой машиной существует эквивалентная операция с трехсчётчиковой машиной. Так как стековый алфавит конечен, то и управляющий автомат эквивалентной трехсчётчиковой машины будет иметь конечное число состояний. То есть для любой двухстековой машины существует эквивалентная ей трехсчётчиковая.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Для любого [math]k[/math] и для любой [math]k[/math]-счётчиковой машины существует эквивалентная ей двухсчётчиковая машина.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math]C_1, C_2, ..., C_k[/math] — значения счётчиков [math]k[/math]-счётчиковой машины. Тогда состояние [math]k[/math]-счётчиковой машины можно охарактеризовать одним числом [math]2^{C_1}*3^{C_2}*...*p_k^{C_k}[/math], где [math]p_k[/math][math]k[/math]-е простое число. Тогда любое состояние k-счётчиковой машины можно хранить на одном счётчике, а операции увеличения значения счетчика, уменьшения значения счетчика и проверки является ли счетчик нулём осуществляются на двухсчётчиковой машине при помощи операций умножения, деления и нахождения остатка от деления на соответствующее номеру счётчика простое число. Для этих вычислений и будет использоваться второй счётчик. Таким образом, для любого [math]k[/math] и для любой [math]k[/math]-счётчиковой машины существует эквивалентная ей двухсчётчиковая машина.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Для любого перечислимого языка [math]L[/math] существует двухсчётчиковая машина, которая распознает этот язык.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Утверждение теоремы очевидно следует из двух описанных выше лемм, тезиса Тьюринга-Черча и эквивалентности двухстековой машины машине Тьюринга.
[math]\triangleleft[/math]

Источники

  • Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)