234
правки
Изменения
→Транспонирование тензора
== Тензоры: независимое от ПЛФ определение; свертка тензора; транспонирование тензора. ==
Пусть <texdpi = "160"> W \in \boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex>. <texdpi = "160">\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(e_{i1}, e_{i2}, ..., e_{ip}, f^{j1}, ..., f^{jq}) </tex>.
(1) {<texdpi = "160">e_i</tex>} <texdpi = "160">\longrightarrow </tex> \{<tex>\tilde{e}_i\} </tex>} под действием матрицы <texdpi = "160">T</tex>.
(2) {<texdpi = "160">f_j</tex>} <texdpi = "160">\longrightarrow </tex> {<tex>\tilde{f}_j</tex>} под действием матрицы <texdpi = "160">T^{-1}</tex>.
<texdpi = "160">\tilde{\omega}_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(\tilde{e}_{i1}, \tilde{e}_{i2}, ..., \tilde{e}_{ip}, \tilde{f}_{j1}, ..., \tilde{f}_{jq}) </tex> = <texdpi = "160"> W(\tau_{i1}^{s1}e_{s1}, \tau_{i2}^{s2}e_{s2}, ..., \tau_{ip}^{sp}e_{sp}, \sigma_{t1}^{j1}f^{j1}, \sigma_{t2}^{j2}f^{j2}, ..., \sigma_{tq}^{jq}f^{jq})</tex> = <texdpi = "160">\tau_{i1}^{s1}\tau_{i2}^{s2}...\tau_{ip}^{sp}\sigma_{t1}^{j1}, \sigma_{t2}^{j2}, ..., \sigma_{tq}^{jq}*W(e_{s1}, e_{s2}, ..., e_{sp}, f^{t1}, f^{t2}, ..., f^{tq}). (*)</tex>
C учетом того, что <texdpi = "160">(f^{j}, e_{i})</tex> = <texdpi = "160"> \delta_{i}^{j} </tex>. И аналогично с <texdpi = "160">e, f</tex> взволнованными.
{{Определение
|id=
|neat = 1
|definition=Пусть <tex>\{e\}_{i = 1}^n</tex> {{---}} базис Х. <tex>\{f\}_{j = 1}^n</tex> {{---}} базис <tex>X^{*}</tex>. Им соответствует <tex>n^{p + q}</tex> чисел <texdpi = "160">\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>. Эти <tex>n^{p + q}</tex> чисел + закон преобразования <tex>(*)</tex> называются тензором. <tex>q</tex> раз контрвариантный, p раз ковариантный.
}}
* x <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \xi^i </tex>. (1, 0)
<tex>x \in X</tex>.
* f <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \phi_i varphi_i </tex>. (0, 1)
<tex>f \in X^*</tex>
* <tex>\mathcal{A}</tex> : X -> X <tex>X \to X \longleftrightarrow \alpha_{k}^{i}</tex>. (1, 1)
* Биленейная форма: <tex>\mathcal{B}(x_1, x_2)\longleftrightarrow </tex> <tex> \beta_{i1, i2} </tex>. (0, 2).
* (0, 0) {{---}} скаляр, число.
<tex>\boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex> {{---}} линейное пространство всех форм валентности (p, q).
<texdpi = "160"> W \longleftrightarrow \omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>. Ранг (q, p).
===Свертка тензора===
|id=
|neat = 1
|definition=Пусть <texdpi = "160">U \in \boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex>. Сверткой формы <texdpi = "160">U</tex> по аргументам <texdpi = "160">x_i</tex>, <texdpi = "160">y^j</tex> называется <texdpi = "160"> \displaystyle \sum_{s=1}^n U(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, e_s, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, f^s, y^{j + 1}, y^q)</tex> = <texdpi = "160">W(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, y^{j + 1}, y^q) </tex>.
}}
|statement=Свертка ПЛФ не зависит от пары сопряженных базисов.
|proof=
<texdpi = "160">U(x_1 \ldots \tilde{e}_s \ldots x_p, y^1 \ldots \tilde{f}^s \ldots y^q) = U(x_1 \ldots \tau_{s}^{k}e_k \ldots x_p, y^1 \ldots \sigma_{l}^{s}f^l \ldots y^q)</tex> <texdpi = "160">= \underbrace{\tau_{s}^{k}\sigma_{l}^{s}}_{\delta_{l}^{k}}U(x_1 \ldots e_k \ldots x_p, y^1 \ldots f^l \ldots y^q) = U(x_1 \ldots e_k \ldots x_p, y^1 \ldots f^l \ldots y^q)</tex>
}}
|id=
|neat =
|definition=Пусть <texdpi = "160">\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}</tex> - тензор ранга (q,p). Сверткой <texdpi = "160">\stackrel{j_s \land i_t}{\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}}</tex> называется тензор ранга (q-1,p-1) вида:
<texdpi = "160">\omega_{i1, i2, ...,i_{t-1},k,i_{t+1} \ldots ip}^{j1, j2, ...,j_{s-1}, k,j_{s+1}\ldots jq}</tex>
}}
NB Сворачивать тензор можно только по паре один верхний/один нижний значек. А по паре , где 2 верхних(нижних) - нельзя.
{{Лемма
|id=
|author=
|about=
|statement=<tex dpi = "160">\stackrel{k \land l}{\stackrel{s \land t}{\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}}} = \stackrel{s \land t}{\stackrel{k \land l}{\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}}}</tex>.
|proof=
}}
NB Если тензор ранга (p, p), то р - кратная свертка этого тензора называется его полной сверткой. Всего возможно р! полных сверток.
===Транспонирование тензора===
{{Определение: |id=и|neat =|definition=Пусть дана многомерная матрица <texdpi = "160"> \alpha_{i1, i2, ..., ip} </tex>. Двумерным слоем этой матрицы (соответствующей индексам i1, i2 например) называется обычная квадратная матрица, полученная из исходной удалением фиксированием всех индексов кроме i1, i2.}}
<texdpi = "160"> ||\alpha_{i1, i2, ..., ipijk}|| = \begin{array}{||c c|c c||} \alpha_{111} & \alpha_{121} & \alpha_{112} & \alpha_{122}\\\alpha_{211} & \alpha_{221} & \alpha_{212} & \alpha_{222}\\\end{array} </tex> {{---}} p-мерная матрциа.
{{Определение
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1.
|neat =
|definition=матрицей <tex dpi = "160"> \alpha_{i1, i2, ..., ip}^{T} </tex> транспонированной, например, по индексам i1, i2, называется матрица полученная из исходной, обычным транспонированием всех её двумерных слоев, отвечающих этим двум индексам (в нашем случае i1, i2).
}}
{{Теорема|id=|author=|about=|statement=Пусть <tex dpi = "160">\omega_{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq}</tex>- тензор ранга (q,p). Пусть каждому базису соответствует <tex dpi = "160">\varkappa _{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq} = \omega_{i1,i2,...,ip}^{j2,j1,...,jq} = \omega_{i1,i2,...,ip}^{T\; \underline{j1},\underline{j2},...,jq}</tex>. Тогда <tex dpi = "160">\varkappa _{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq}</tex> - тензор ранга (q,p)|proof= <tex dpi = "160">\tilde{\varkappa}_{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq} = \omega_{i1,i2,...,ip}^{j2,j1,...,jq} = \sigma_{s_1}^{j_2}\sigma_{s_2}^{j_1} \ldots \sigma_{s_q}^{j_q} \tau_{i_1}^{t_1} \ldots \tau_{i_p}^{t_p} \omega_{t_1,t_2,...,t_p}^{s_1,s_2,...,s_q} = \tau_{i_1}^{t_1} \ldots \tau_{i_p}^{t_p} \sigma_{s_1}^{j_1}\sigma_{s_2}^{j_2} \ldots \sigma_{s_q}^{j_q} \underbrace{\omega_{t_1,t_2,...,t_p}^{s_2,s_1,...,s_q}}_{\varkappa_{t_1,t_2,...,t_p}^{s_1,s_2,...,s_q}}</tex>}}[[Категория : Алгебра и геометрия. 1 курс]]
