Тензор — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Транспонирование тензора)
 
(не показаны 24 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
== Тензоры: независимое от ПЛФ определение; свертка тензора; транспонирование тензора. ==
 
== Тензоры: независимое от ПЛФ определение; свертка тензора; транспонирование тензора. ==
Пусть <tex> W </tex> принадлежит <tex>\boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex>. <tex>\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(e_{i1}, e_{i2}, ..., e_{ip}, f^{j1}, ..., f^{jq}) </tex>.
+
Пусть <tex dpi = "160"> W \in \boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex>. <tex dpi = "160">\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(e_{i1}, e_{i2}, ..., e_{ip}, f^{j1}, ..., f^{jq}) </tex>.
  
(1) {<tex>e_i</tex>} <tex>\longrightarrow </tex> {<tex>\tilde{e}_i</tex>} под действием матрицы <tex>T</tex>.
+
(1) {<tex dpi = "160">e_i</tex>} <tex dpi = "160">\longrightarrow \{ \tilde{e}_i\} </tex> под действием матрицы <tex dpi = "160">T</tex>.
  
(2) {<tex>f_j</tex>} <tex>\longrightarrow </tex> {<tex>\tilde{f}_j</tex>} под действием матрицы <tex>T^{-1}</tex>.
+
(2) {<tex dpi = "160">f_j</tex>} <tex dpi = "160">\longrightarrow </tex> {<tex>\tilde{f}_j</tex>} под действием матрицы <tex dpi = "160">T^{-1}</tex>.
 
   
 
   
<tex>\tilde{\omega}_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(\tilde{e}_{i1}, \tilde{e}_{i2}, ..., \tilde{e}_{ip}, \tilde{f}_{j1}, ..., \tilde{f}_{jq}) </tex> = <tex> W(\tau_{i1}^{s1}e_{s1}, \tau_{i2}^{s2}e_{s2}, ..., \tau_{ip}^{sp}e_{sp}, \mathrm{G}_{t1}^{j1}f^{j1}, \mathrm{G}_{t2}^{j2}f^{j2}, ..., \mathrm{G}_{tq}^{jq}f^{jq})</tex> = <tex>\tau_{i1}^{s1}\tau_{i2}^{s2}...\tau_{ip}^{sp}\mathrm{G}_{t1}^{j1}, \mathrm{G}_{t2}^{j2}, ..., \mathrm{G}_{tq}^{jq}*W(e_{s1}, e_{s2}, ..., e_{sp}, f^{t1}, f^{t2}, ..., f^{tq}). </tex>
+
<tex dpi = "160">\tilde{\omega}_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(\tilde{e}_{i1}, \tilde{e}_{i2}, ..., \tilde{e}_{ip}, \tilde{f}_{j1}, ..., \tilde{f}_{jq}) </tex> = <tex dpi = "160"> W(\tau_{i1}^{s1}e_{s1}, \tau_{i2}^{s2}e_{s2}, ..., \tau_{ip}^{sp}e_{sp}, \sigma_{t1}^{j1}f^{j1}, \sigma_{t2}^{j2}f^{j2}, ..., \sigma_{tq}^{jq}f^{jq})</tex> = <tex dpi = "160">\tau_{i1}^{s1}\tau_{i2}^{s2}...\tau_{ip}^{sp}\sigma_{t1}^{j1}, \sigma_{t2}^{j2}, ..., \sigma_{tq}^{jq}*W(e_{s1}, e_{s2}, ..., e_{sp}, f^{t1}, f^{t2}, ..., f^{tq}). (*)</tex>
  
C учетом того, что <tex>(f^{j}, e_{i})</tex> = <tex> \delta_{i}^{j} </tex>. И аналогично с <tex>e, f</tex> взволнованными.
+
C учетом того, что <tex dpi = "160">(f^{j}, e_{i})</tex> = <tex dpi = "160"> \delta_{i}^{j} </tex>. И аналогично с <tex dpi = "160">e, f</tex> взволнованными.
  
Определение: Пусть <tex>{e}_{i = 1}^n</tex> {{---}} базис Х. <tex>{f}_{j = 1}^n</tex> {{---}} базис <tex>Х^{*}</tex>. Им соответствует <tex>n^{p + q}</tex> чисел <tex>\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>. Это <tex>n^{p + q}</tex> чисел + само определение называется тензором. <tex>q</tex> раз контрвариантный, p раз ковариантный.
+
{{Определение
 +
|id=
 +
|neat = 1
 +
|definition=Пусть <tex>\{e\}_{i = 1}^n</tex> {{---}} базис Х. <tex>\{f\}_{j = 1}^n</tex> {{---}} базис <tex>X^{*}</tex>. Им соответствует <tex>n^{p + q}</tex> чисел <tex dpi = "160">\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>. Эти <tex>n^{p + q}</tex> чисел + закон преобразования <tex>(*)</tex> называются тензором. <tex>q</tex> раз контрвариантный, p раз ковариантный.
 +
}}
  
 
<tex>NB</tex> {{---}} ранг тензора (<tex>q</tex>, <tex>p</tex>).
 
<tex>NB</tex> {{---}} ранг тензора (<tex>q</tex>, <tex>p</tex>).
  
 
Примеры:
 
Примеры:
* x <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \xi^1 </tex>. (1, 0)
+
* x <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \xi^i </tex>. (1, 0)
x принадлежит Х.
+
<tex>x \in X</tex>.
* f <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \phi_1 </tex>. (0, 1)
+
* f <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \varphi_i </tex>. (0, 1)
f принадлежит <tex>X^*</tex>
+
<tex>f \in X^*</tex>
* <tex>\mathcal{A}</tex> : X -> X <tex>\longleftrightarrow </tex> \alpha_{k}^{i}. (1, 1)
+
* <tex>\mathcal{A}</tex> : <tex>X \to X \longleftrightarrow \alpha_{k}^{i}</tex>. (1, 1)
* Биленейная форма: B(x1, x2) <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \beta_{i1, i2} </tex>. (0, 2).
+
* Биленейная форма: <tex>\mathcal{B}(x_1, x_2)\longleftrightarrow </tex> <tex> \beta_{i1, i2} </tex>. (0, 2).
 
* (0, 0) {{---}} скаляр, число.
 
* (0, 0) {{---}} скаляр, число.
  
 
<tex>\boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex> {{---}} линейное пространство всех форм валентности (p, q).
 
<tex>\boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex> {{---}} линейное пространство всех форм валентности (p, q).
  
<tex> W \longleftrightarrow \omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>. Ранг (q, p).
+
<tex dpi = "160"> W \longleftrightarrow \omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>. Ранг (q, p).
  
 
===Свертка тензора===
 
===Свертка тензора===
Определение: Пусть <tex>U</tex> принадлежит <tex>\boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex>. Сверткой формы <tex>U</tex> по аргументам <tex>x_i</tex>, <tex>y^j</tex> называется <tex> \sum_{s=1}^n U(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, e_s, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, f^s, y^{j + 1}, y^q)</tex> = <tex>W(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, y^{j + 1}, y^q) </tex>.
+
{{Определение
 +
|id=
 +
|neat = 1
 +
|definition=Пусть <tex dpi = "160">U \in \boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex>. Сверткой формы <tex dpi = "160">U</tex> по аргументам <tex dpi = "160">x_i</tex>, <tex dpi = "160">y^j</tex> называется <tex dpi = "160"> \displaystyle \sum_{s=1}^n U(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, e_s, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, f^s, y^{j + 1}, y^q)</tex> = <tex dpi = "160">W(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, y^{j + 1}, y^q) </tex>.
 +
}}
  
Свертка ПЛФ не зависит от паря сопряженных базисов.
+
{{Лемма
 +
|id=
 +
|author=
 +
|about=
 +
|statement=Свертка ПЛФ не зависит от пары сопряженных базисов.
 +
|proof=
 +
<tex dpi = "160">U(x_1 \ldots \tilde{e}_s \ldots x_p, y^1 \ldots \tilde{f}^s \ldots y^q) = U(x_1 \ldots \tau_{s}^{k}e_k \ldots x_p, y^1 \ldots \sigma_{l}^{s}f^l \ldots y^q)</tex> <tex dpi = "160">= \underbrace{\tau_{s}^{k}\sigma_{l}^{s}}_{\delta_{l}^{k}}U(x_1 \ldots e_k \ldots x_p, y^1 \ldots f^l \ldots y^q) = U(x_1 \ldots e_k \ldots x_p, y^1 \ldots f^l \ldots y^q)</tex>
 +
}}
  
После свертки тензор имеет ранг (q - 1, p - 1).
+
{{Определение
 +
|id=
 +
|neat =
 +
|definition=Пусть <tex dpi = "160">\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}</tex> - тензор ранга (q,p). Сверткой <tex dpi = "160">\stackrel{j_s \land i_t}{\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}}</tex>  называется тензор ранга (q-1,p-1) вида:
  
NB Сворачивать тензор можно только по паре один верхний/один нижний значек. Иначе {{---}} нельзя.
+
<tex dpi = "160">\omega_{i1, i2, ...,i_{t-1},k,i_{t+1} \ldots ip}^{j1, j2, ...,j_{s-1}, k,j_{s+1}\ldots jq}</tex>
 +
}}
 +
 
 +
NB Сворачивать тензор можно только по паре один верхний/один нижний значек. А по паре , где 2 верхних(нижних) - нельзя.
 +
 
 +
{{Лемма
 +
|id=
 +
|author=
 +
|about=
 +
|statement=<tex dpi = "160">\stackrel{k \land l}{\stackrel{s \land t}{\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}}} = \stackrel{s \land t}{\stackrel{k \land l}{\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}}}</tex>.  
 +
|proof=
 +
}}
  
 
NB Если тензор ранга (p, p), то р - кратная свертка этого тензора называется его полной сверткой. Всего возможно р! полных сверток.
 
NB Если тензор ранга (p, p), то р - кратная свертка этого тензора называется его полной сверткой. Всего возможно р! полных сверток.
Строка 40: Строка 69:
 
===Транспонирование тензора===
 
===Транспонирование тензора===
  
Определение: Пусть дана многомерная матрица <tex> \alpha_{i1, i2, ..., ip} </tex>. Двумерным слоем этой матрицы (соответствующей индексам i1, i2 например) называется обычная квадратная матрица, полученная из исходной удалением всех индексов кроме i1, i2.
+
{{Определение
 +
|id=и
 +
|neat =
 +
|definition=Пусть дана многомерная матрица <tex dpi = "160"> \alpha_{i1, i2, ..., ip} </tex>. Двумерным слоем этой матрицы (соответствующей индексам i1, i2 например) называется обычная квадратная матрица, полученная из исходной фиксированием всех индексов кроме i1, i2.
 +
}}
  
Всё количество двумерных слоев {{---}} <tex>n^{p - 2}*C_{p}^{2} </tex>
+
Всего количество двумерных слоев {{---}} <tex>n^{p - 2}*C_{p}^{2} </tex>
  
<tex> \alpha_{i1, i2, ..., ip} </tex> {{---}} p-мерная матрциа.
+
<tex dpi = "160"> ||\alpha_{ijk}|| = \begin{array}{||c c|c c||}
 +
\alpha_{111} & \alpha_{121} & \alpha_{112} & \alpha_{122}\\
 +
\alpha_{211} & \alpha_{221} & \alpha_{212} & \alpha_{222}\\
 +
\end{array}</tex>
  
Определение: матрицей <tex> \alpha_{i1, i2, ..., ip}^{T} </tex> транспонированной, например, по индексам i1, i2, называется матрица полученная из исходной, обычным транспонированием всех её двумерных семейств, отвечающих этим двум индексам (в нашем случае i1, i2).
 
  
 +
{{Определение
 +
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1.
 +
|neat =
 +
|definition=матрицей <tex dpi = "160"> \alpha_{i1, i2, ..., ip}^{T} </tex> транспонированной, например, по индексам i1, i2, называется матрица полученная из исходной, обычным транспонированием всех её двумерных слоев, отвечающих этим двум индексам (в нашем случае i1, i2).
 +
}}
  
[[Категория : Алгебра и геометрия. 1 курс]]
+
{{Теорема
 +
|id=
 +
|author=
 +
|about=
 +
|statement=Пусть <tex dpi = "160">\omega_{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq}</tex>- тензор ранга (q,p). Пусть каждому базису соответствует <tex dpi = "160">\varkappa _{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq} = \omega_{i1,i2,...,ip}^{j2,j1,...,jq} = \omega_{i1,i2,...,ip}^{T\; \underline{j1},\underline{j2},...,jq}</tex>. Тогда <tex dpi = "160">\varkappa _{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq}</tex> - тензор ранга (q,p)
 +
|proof=
 +
<tex dpi = "160">\tilde{\varkappa}_{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq} = \omega_{i1,i2,...,ip}^{j2,j1,...,jq} = \sigma_{s_1}^{j_2}\sigma_{s_2}^{j_1} \ldots \sigma_{s_q}^{j_q} \tau_{i_1}^{t_1} \ldots \tau_{i_p}^{t_p} \omega_{t_1,t_2,...,t_p}^{s_1,s_2,...,s_q} = \tau_{i_1}^{t_1} \ldots \tau_{i_p}^{t_p} \sigma_{s_1}^{j_1}\sigma_{s_2}^{j_2} \ldots \sigma_{s_q}^{j_q} \underbrace{\omega_{t_1,t_2,...,t_p}^{s_2,s_1,...,s_q}}_{\varkappa_{t_1,t_2,...,t_p}^{s_1,s_2,...,s_q}}</tex>
 +
}}
 +
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Текущая версия на 21:07, 14 июня 2013

Тензоры: независимое от ПЛФ определение; свертка тензора; транспонирование тензора.[править]

Пусть [math] W \in \boldsymbol{\Omega}_{q}^p [/math]. [math]\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(e_{i1}, e_{i2}, ..., e_{ip}, f^{j1}, ..., f^{jq}) [/math].

(1) {[math]e_i[/math]} [math]\longrightarrow \{ \tilde{e}_i\} [/math] под действием матрицы [math]T[/math].

(2) {[math]f_j[/math]} [math]\longrightarrow [/math] {[math]\tilde{f}_j[/math]} под действием матрицы [math]T^{-1}[/math].

[math]\tilde{\omega}_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(\tilde{e}_{i1}, \tilde{e}_{i2}, ..., \tilde{e}_{ip}, \tilde{f}_{j1}, ..., \tilde{f}_{jq}) [/math] = [math] W(\tau_{i1}^{s1}e_{s1}, \tau_{i2}^{s2}e_{s2}, ..., \tau_{ip}^{sp}e_{sp}, \sigma_{t1}^{j1}f^{j1}, \sigma_{t2}^{j2}f^{j2}, ..., \sigma_{tq}^{jq}f^{jq})[/math] = [math]\tau_{i1}^{s1}\tau_{i2}^{s2}...\tau_{ip}^{sp}\sigma_{t1}^{j1}, \sigma_{t2}^{j2}, ..., \sigma_{tq}^{jq}*W(e_{s1}, e_{s2}, ..., e_{sp}, f^{t1}, f^{t2}, ..., f^{tq}). (*)[/math]

C учетом того, что [math](f^{j}, e_{i})[/math] = [math] \delta_{i}^{j} [/math]. И аналогично с [math]e, f[/math] взволнованными.


Определение:
Пусть [math]\{e\}_{i = 1}^n[/math] — базис Х. [math]\{f\}_{j = 1}^n[/math] — базис [math]X^{*}[/math]. Им соответствует [math]n^{p + q}[/math] чисел [math]\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} [/math]. Эти [math]n^{p + q}[/math] чисел + закон преобразования [math](*)[/math] называются тензором. [math]q[/math] раз контрвариантный, p раз ковариантный.


[math]NB[/math] — ранг тензора ([math]q[/math], [math]p[/math]).

Примеры:

  • x [math]\longleftrightarrow [/math] [math] \xi^i [/math]. (1, 0)

[math]x \in X[/math].

  • f [math]\longleftrightarrow [/math] [math] \varphi_i [/math]. (0, 1)

[math]f \in X^*[/math]

  • [math]\mathcal{A}[/math] : [math]X \to X \longleftrightarrow \alpha_{k}^{i}[/math]. (1, 1)
  • Биленейная форма: [math]\mathcal{B}(x_1, x_2)\longleftrightarrow [/math] [math] \beta_{i1, i2} [/math]. (0, 2).
  • (0, 0) — скаляр, число.

[math]\boldsymbol{\Omega}_{q}^p [/math] — линейное пространство всех форм валентности (p, q).

[math] W \longleftrightarrow \omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} [/math]. Ранг (q, p).

Свертка тензора[править]

Определение:
Пусть [math]U \in \boldsymbol{\Omega}_{q}^p [/math]. Сверткой формы [math]U[/math] по аргументам [math]x_i[/math], [math]y^j[/math] называется [math] \displaystyle \sum_{s=1}^n U(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, e_s, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, f^s, y^{j + 1}, y^q)[/math] = [math]W(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, y^{j + 1}, y^q) [/math].


Лемма:
Свертка ПЛФ не зависит от пары сопряженных базисов.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]U(x_1 \ldots \tilde{e}_s \ldots x_p, y^1 \ldots \tilde{f}^s \ldots y^q) = U(x_1 \ldots \tau_{s}^{k}e_k \ldots x_p, y^1 \ldots \sigma_{l}^{s}f^l \ldots y^q)[/math] [math]= \underbrace{\tau_{s}^{k}\sigma_{l}^{s}}_{\delta_{l}^{k}}U(x_1 \ldots e_k \ldots x_p, y^1 \ldots f^l \ldots y^q) = U(x_1 \ldots e_k \ldots x_p, y^1 \ldots f^l \ldots y^q)[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Пусть [math]\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}[/math] - тензор ранга (q,p). Сверткой [math]\stackrel{j_s \land i_t}{\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}}[/math] называется тензор ранга (q-1,p-1) вида: [math]\omega_{i1, i2, ...,i_{t-1},k,i_{t+1} \ldots ip}^{j1, j2, ...,j_{s-1}, k,j_{s+1}\ldots jq}[/math]


NB Сворачивать тензор можно только по паре один верхний/один нижний значек. А по паре , где 2 верхних(нижних) - нельзя.

Лемма:
[math]\stackrel{k \land l}{\stackrel{s \land t}{\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}}} = \stackrel{s \land t}{\stackrel{k \land l}{\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}}}[/math].

NB Если тензор ранга (p, p), то р - кратная свертка этого тензора называется его полной сверткой. Всего возможно р! полных сверток.

Транспонирование тензора[править]

Определение:
Пусть дана многомерная матрица [math] \alpha_{i1, i2, ..., ip} [/math]. Двумерным слоем этой матрицы (соответствующей индексам i1, i2 например) называется обычная квадратная матрица, полученная из исходной фиксированием всех индексов кроме i1, i2.


Всего количество двумерных слоев — [math]n^{p - 2}*C_{p}^{2} [/math]

[math] ||\alpha_{ijk}|| = \begin{array}{||c c|c c||} \alpha_{111} & \alpha_{121} & \alpha_{112} & \alpha_{122}\\ \alpha_{211} & \alpha_{221} & \alpha_{212} & \alpha_{222}\\ \end{array}[/math]


Определение:
матрицей [math] \alpha_{i1, i2, ..., ip}^{T} [/math] транспонированной, например, по индексам i1, i2, называется матрица полученная из исходной, обычным транспонированием всех её двумерных слоев, отвечающих этим двум индексам (в нашем случае i1, i2).


Теорема:
Пусть [math]\omega_{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq}[/math]- тензор ранга (q,p). Пусть каждому базису соответствует [math]\varkappa _{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq} = \omega_{i1,i2,...,ip}^{j2,j1,...,jq} = \omega_{i1,i2,...,ip}^{T\; \underline{j1},\underline{j2},...,jq}[/math]. Тогда [math]\varkappa _{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq}[/math] - тензор ранга (q,p)
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]\tilde{\varkappa}_{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq} = \omega_{i1,i2,...,ip}^{j2,j1,...,jq} = \sigma_{s_1}^{j_2}\sigma_{s_2}^{j_1} \ldots \sigma_{s_q}^{j_q} \tau_{i_1}^{t_1} \ldots \tau_{i_p}^{t_p} \omega_{t_1,t_2,...,t_p}^{s_1,s_2,...,s_q} = \tau_{i_1}^{t_1} \ldots \tau_{i_p}^{t_p} \sigma_{s_1}^{j_1}\sigma_{s_2}^{j_2} \ldots \sigma_{s_q}^{j_q} \underbrace{\omega_{t_1,t_2,...,t_p}^{s_2,s_1,...,s_q}}_{\varkappa_{t_1,t_2,...,t_p}^{s_1,s_2,...,s_q}}[/math]
[math]\triangleleft[/math]