Изменения

Будем рассматривать последовательность линейных ограниченных операторов <tex>A_n: X \rightarrow to Y</tex>.

Последовательность <tex>A_n</tex> '''поточечно ограничена''', если <tex>\forall x \in X \sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n x\| \le < +\infty</tex>.

Последовательность <tex>A_n</tex> '''равномерно ограничена''', если <tex>\sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n\| \le < +\infty</tex>.

Принцип принцип равномерной ограниченности

Пусть Сначала покажем, что существует некоторый замкнутый шар <tex>\overline V(a, r)</tex>, такойв котором <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| < +\infty</tex>. Покажем от противного, пусть такого шара нет, возьмем тогда произвольный замкнутый шар <tex>\overline V</tex>, что в нем <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = +\infty</tex>.

Тогда в силу неограниченности найдется <tex>n_1 </tex> и <tex> x_1 \exists n_1in \overline V: \|A_{n_1} x_1\| \ge > 1</tex>; <tex>A_{n_1}</tex> непрерывен, значит, можно взять <tex>V_r(xx_1) = \overline {V_1} \subset \overline V</tex>, где <tex>r = (V_1) \le \frac {r(\overline V)}{2}</tex>.

Опять в силу неограниченности найдется <tex>n_2 > n_1 </tex> и <tex> x_2 \exists n_2in V_1(x_1): \|A_{n_2} x_2\| \ge > 2</tex>; <tex>A_{n_2}</tex> непрерывен, берем <tex>V_r(xx_2) = \overline {V_2} \subset \overline {V_1}</tex>, где <tex>r = (V_2) \le \frac {r(\overline V_1)}{2}</tex>.

Продолжая таким образом, выстраиваем последовательность вложенных шаров <tex>\overline {V_{n_m}}: \overline {V_{n_{m+1}}} \subset \overline {V_{n_m}}, r_{n_m} \to 0, \forall x \in \overline {V_{n_m}}: \|A_{n_m} x \| > m</tex>.

Так как <tex>YX</tex> - банахово, то существует <tex>c \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline {V_{n_m}}</tex>, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| < +\infty</tex>.

Но <tex>\forall m: \|A_{n_m}(c)\| > m\|</tex>, то есть, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty</tex>. Получили противоречие, значит, такой шар <tex>\overline V(a, r)</tex> найдется, пусть на нем <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = M</tex>. Заметим, любому <tex>x \in \overline V(0, 1)</tex> в соответствие можно поставить <tex>x' \in \overline V(a, r)</tex> как <tex>x' = r x + a</tex>, тогда <tex>\| A_n x \| = {\|A_n x' - A_n a\| \over r} \le {M + \|A_na\| \over r}</tex> равномерно . По поточечной ограниченности операторов, <tex>\exists M_1: \|A_n a\| \le M_1</tex>, таким образом, <tex>\|A_n x\| \le {M + M_1 \over r}</tex>, то есть ограниченаконстантой, не зависящей от <tex>n</tex> и <tex>x</tex>.