Теорема Банаха-Штейнгауза — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
  

Текущая версия на 19:27, 4 сентября 2022

Эта статья находится в разработке!

Будем рассматривать последовательность линейных ограниченных операторов [math]A_n: X \to Y[/math].

Определение:
Последовательность [math]A_n[/math] поточечно ограничена, если [math]\forall x \in X \sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n x\| \lt +\infty[/math].


Определение:
Последовательность [math]A_n[/math] равномерно ограничена, если [math]\sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n\| \lt +\infty[/math].


Теорема (Банах, Штейнгауз, принцип равномерной ограниченности):
Пусть [math]X[/math] — банахово, [math]A_n \in L(X, Y)[/math], [math]A_n[/math] поточечно ограничена. Тогда [math]A_n[/math] равномерно ограничена.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Сначала покажем, что существует замкнутый шар [math]\overline V(a, r)[/math], в котором [math]\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| \lt +\infty[/math]. Покажем от противного, пусть такого шара нет, возьмем тогда произвольный замкнутый шар [math]\overline V[/math], в нем [math]\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = +\infty[/math].

Тогда в силу неограниченности найдется [math] n_1 [/math] и [math] x_1 \in \overline V: \|A_{n_1} x_1\| \gt 1[/math]; [math]A_{n_1}[/math] непрерывен, значит, можно взять [math]V_r(x_1) = \overline {V_1} \subset \overline V[/math], где [math]r(V_1) \le \frac {r(\overline V)}{2}[/math].

Опять в силу неограниченности найдется [math]n_2 \gt n_1 [/math] и [math] x_2 \in V_1(x_1): \|A_{n_2} x_2\| \gt 2[/math]; [math]A_{n_2}[/math] непрерывен, берем [math]V_r(x_2) = \overline {V_2} \subset \overline {V_1}[/math], где [math]r(V_2) \le \frac {r(\overline V_1)}{2}[/math].

Продолжая таким образом, выстраиваем последовательность вложенных шаров [math]\overline V_{n_m}: \overline V_{n_{m+1}} \subset \overline V_{n_m}, r_{n_m} \to 0, \forall x \in \overline V_{n_m}: \|A_{n_m} x \| \gt m[/math].

Так как [math]X[/math] - банахово, то существует [math]c \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline V_{n_m}[/math], [math]\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| \lt +\infty[/math].

Но [math]\forall m: \|A_{n_m}(c)\| \gt m[/math], то есть, [math]\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty[/math]. Получили противоречие, значит, такой шар [math]\overline V(a, r)[/math] найдется, пусть на нем [math]\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = M[/math]. Заметим, любому [math]x \in \overline V(0, 1)[/math] в соответствие можно поставить [math]x' \in \overline V(a, r)[/math] как [math]x' = r x + a[/math], тогда [math]\| A_n x \| = {\|A_n x' - A_n a\| \over r} \le {M + \|A_n a\| \over r}[/math]. По поточечной ограниченности операторов, [math]\exists M_1: \|A_n a\| \le M_1[/math], таким образом, [math]\|A_n x\| \le {M + M_1 \over r}[/math], то есть ограничена константой, не зависящей от [math]n[/math] и [math]x[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Ссылки