1679
правок
Изменения
дыркии((
<tex> Z = \mathrm{Ker} A </tex> {{---}} линейное подпространство в <tex> X </tex>.
Рассмотрим <tex> X/_Z </tex> {{---}} фактор-подпространство. <tex> i : X \to X/_Z, i(x) = [x]</tex>, где <tex> [x] </tex> {{---}} класс смежности <tex> x </tex>, <tex>i</tex> называется '''каноническим вложением''' <tex>X</tex> в фактор-пространство. Оператор <tex> i </tex> {{---}} линейный и ограниченный, переводит открытое множество в <tex> X </tex> в открытое множество в <tex> X/_Z </tex>, то есть окрытый. {{TODO|t=доказать почему это, упражнение. Вообще интересно, как вводить норму в фактор-пространствеон так делает? Вот [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) тут] вводят как <tex>\|[x]\|_{X /_M} = \inf\limits_{m \in M} \| x - m \|_X</tex>, выглядит логично, но Додонов все равно вроде об этом не говорилто есть открытый.}}
* <tex>i(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = i(x) + i(y)</tex> - по свойствам фактор-множества
* <tex>i(\alpha x) = [\alpha x] = \alpha [x] = \alpha i </tex> - по свойствам фактор-множства показали линейность.
* <tex>\|i\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|ix\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|[x]\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} \| x- z \|_{X}</tex><tex> \le \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} (\| x \|_{X} + \| z \|_{X}) \le 1 + \inf \limits_{z \in Z} \| z \|_{X} = 1 < + \infty </tex> - показали ограниченность
Введем норму как <tex>\|[x]\|_{X /_Z} = \inf\limits_{TODOz \in Z} \|t=например можно попробовать такx - z \|_X</tex> (заметим, что ее значение не зависит от того, какой <tex>x \in [x]</tex> выбрать. Покажем, что это действительно норма:}}
Покажем, что <tex>U_A</tex> разные классы переводит в разные точки <tex> Y </tex>, так как факторизация происходит по ядру <tex>A</tex>: пусть <tex>U_A([x]_1) = y</tex> и <tex>U_A([x]_2) = y</tex>, это значит, что <tex>A(x_1 + k_1) = y, A(x_2 + k_2) = y \implies A(x_1 + k_1) - A(x_2 + k_2) = 0</tex>, по линейности <tex>A(x_1 - x_2) + A(k_1 - k_2) = 0 \implies A(x_1 - x_2) = 0</tex>, так как <tex>k_1 - k_2</tex> в ядре. Но тогда получили, что <tex>x_1 - x_2</tex> также в ядре, то есть <tex>x_1</tex> отличается от <tex>x_2</tex> на элемент ядра, и находятся в одном классе эквивалентности, получили противоречие.
Таким образом, оператор <tex> U_A : X/_Z \to R(A)</tex> биективен, следовательно, <tex>U_A^{-1} </tex> {{---}} ограничен непрерывен (по теореме Банаха), значит , так как <tex>U_A</tex> тоже непрерывен, то прообразы (по оператору <tex> U_A </tex> — открытое отображение ) всех открытых в <tex>Y</tex> открыты в <tex>X</tex>, а прообразы (по оператору <tex>U_A^{{TODO|t=почему? Тут как-то надо, кажется, использовать, что для непрерывного отображения прообраз открытого 1}</tex> всех открытых в <tex>X</tex> открыты в <tex>Y</tex>. Значит <tex> U_A </tex> переводит открытые множества открыт, но пока непонятно}}, а так в открытые и является открытым отображением. Так как <tex>i</tex> открытое и суперпозиция открытых отображение открыта, <tex> A </tex> тоже открыт.
}}
