Изменения

Оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''непрерывно обратимым''', если существует <tex> A^{-1} : Y \to X </tex> и <tex> \| A^{-1} \| < \infty </tex>, причем <tex>A^{-1}</tex> должен быть определен на всем <tex>Y</tex>.

Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, оператор <tex> C : X \to X, C \in \mathbb{L}(X) </tex> и <tex> \| C \| < 1 </tex>.

<tex> \mathbb{L}(X) </tex> {{---}} B-пространство.

<tex> \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex> {{---}} — ряд в B-пространстве <tex> \mathbb{L}(X) </tex> сходится, если сходится ряд из соответствующих норм. Из того, что Покажем это: пусть есть операторный ряд <tex> \| Csum\limits_{i=1}^k \| infty A_i</tex>. Рассмотрим последовательность частичных сумм <tex>S_n = \le sum\| C \|limits_{i=1}^k n A_i</tex>, получаем она будет сходиться если сходится в себе (по Банаховости пространства). Тогда <tex> \| S_n - S_m = \sum\limits_{ki=0m}^{n} A_i</tex>, а <tex>\|S_n - S_m\| = \| \inftysum\limits_{i=m} C^k n A_i \| \le \sum\limits_{ki=0m}^{n \infty} |A_i\| C^k </tex> (так как для конечного числа членов норма суммы меньше суммы норм), но так как последовательность норм сходится, она также сходится в себе и <tex>\| = sum\frac 1limits_{1 - i=m}^n \| C A_i\|} < \xrightarrow[n, m \to \infty ]{} 0</tex>, то есть частичные суммы сходятся в себе, а, значит, и сходятся.

Так как Из того, что <tex> \| C^k \| \le \| C \| < 1 ^k </tex>, то существует такой получаем <tex> S \in left\| \mathbbsum\limits_{Lk=0}(X) </tex>, что <tex> S = ^{\infty} C^k \right\| \le \sum\limits_{k=0}^{\infty} \| C\|^k = \frac 1{1 - \| C \|} < \infty </tex>.

<tex> S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S </tex>. Поскольку Так как <tex> \| C \| < 1 </tex>, то существует такой <tex> S \| C^k \| \to 0 in {L}(X) </tex>, а значит, и что <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k \to 0 </tex>. {{TODO|t=красивый ноль}}

<tex> S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S </tex>. Поскольку <tex> \| C \| < 1 </tex>, то <tex> \| C^k \| \to 0 </tex>, а значит, и <tex> C^k \to \mathbb{O} </tex>. <tex> (I - C)S_n = I - C^{n + 1} </tex>. Устремляя <tex> n </tex> к бесконечности, получаем <tex> (I - C)S = I </tex>, а значит <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} </tex> — ограниченный оператор. }} Трактовка этой теоремы: <tex> Ix = x </tex>, <tex> I </tex> {{---}} непрерывно обратимый оператор. При каких условиях на оператор <tex> C </tex> оператор <tex> I - C </tex> сохраняет ннепрерывную обратимость? Из теоремы выше известен ответ на этот вопрос: когда <tex> \| C \| < 1 </tex>, то есть "при малых возмущениях <tex> I </tex> сохраняется его непрерывная обратимость".  '''Далее считаем, что пространства <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> {{---}} всегда банаховы.''' {{Определение|definition=Рассмотрим уравнение <tex> Ax = y </tex> при заданном <tex> y </tex>. Если для такого уравнения можно написать <tex> \| x \| \le \alpha \| y \| </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} константа, то говорят, что это уравнение '''допускает априорную оценку решений'''.}} <tex> R(A) = \{ Ax \mid x \in X \} </tex> {{---}} область значений оператора <tex> A </tex>, является линейным множеством, но может быть незамкнутым. Однако, верно следующее: {{Утверждение|statement=Если <tex> A </tex> непрерывен, и уравнение <tex> Ax = y </tex> допускает априорную оценку решений, то <tex> R(A) = \mathrm{Cl} R(A) </tex>.|proof=Возьмем сходящуюся последовательсть <tex> y_n \in R(A), y_n \to y </tex>. Нужно проверить, правда ли <tex> y \in R(A) </tex>, или, что то же самое, что уравнение <tex> Ax = y </tex> имеет решение для такого <tex> y </tex>. <tex> y_n \to y \implies \| y_n - y_m \| \to 0 </tex>. Можно выбрать такую подпоследовательность <tex> y_n </tex>, что для этой подпоследовательности после перенумерации будет выполняться <tex> \| y_n - y_{n+1} \| < \frac 1{2^n} </tex>. По линейности <tex> R(A) </tex>: <tex> y_{n+1} - y_n \in R(A) </tex> и для любого <tex> n </tex> существует <tex> x_n: A x_n = y_{n+1} - y_n </tex>. Поскольку уравнение <tex> Ax = y </tex> допускает априорную оценку решений, имеем <tex> \| x_n \| \le \alpha \| y_{n+1} - y_n \| </tex>. Рассмотрим следующий ряд: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>. Сумма ряда из норм: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| x_n \| \le \alpha \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| y_{n+1} - y_n \| \le \alpha \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1{2^n} = \alpha </tex>. По банаховости <tex> X </tex> получаем, что <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex> сходится, и <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n = x </tex>. По непрерывности <tex> A </tex> получаем, что <tex> Ax = A \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} A x_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_{n+1} - y_n = y - y_1 </tex>. <tex> Ax = y - y_1, y = Ax + y_1 = Ax + A x_0 = A(x + x_0) </tex>, поэтому <tex> y \in R(A) </tex>.}} {{Теорема|id=invlb|statement=Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратим на <tex>R(A)</tex>.|proof=Заметим, что в ядре только нулевой элемент, в противном случае: пусть <tex>x \ne 0</tex>, тогда <tex>0 < m \|x\| \le \|A x\| = 0</tex>. Из этого следует, что оператор инъективен: пусть <tex>A x_1 = y, A x_2 = y</tex>, тогда <tex>A (x_1 - x_2) = 0</tex>, что возможно только когда <tex>x_1 = x_2</tex>. Так как строим обратный оператор на <tex>R(A)</tex>, <tex>\forall y \in R(A) \exists x: A x = y</tex>, то есть оператор биективен на области значений, определим <tex>A^{-1}</tex> на всем <tex>R(A)</tex> и для любого <tex>y</tex> рассмотрим <tex>x = A^{-1} y</tex>. Тогда <tex> m \|x\| = m \|A^{-1} y \| \le \|A A^{-1} y\| \implies \|A^{-1} y\| \le \frac{1}{m} \|y\|</tex>, то есть оператор ограничен константой <tex>\frac{1}{m}</tex>.}} == Теорема Банаха о гомеоморфизме ==Перед доказательством теоремы Банаха о гомеоморфизме докажем для начала вспомогательную лемму. {{Утверждение|statement=Рассмотрим линейный оператор <tex> A : X \to Y </tex>. Обозначим <tex> X_n = \{ x \in X: \| Ax \| \le n \| x \| \} </tex>.Тогда хотя бы одно <tex> X_n </tex> ''всюду плотно в <tex> X </tex>''.|proof=Очевидно, что <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X_n </tex>, <tex> X </tex> {{---}} B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по [[Метрические пространства#thbaire|теореме Бэра о категориях]], <tex> X </tex> {{---}} 2 категории, то есть какое-то множество <tex>X_{n_0}</tex> не является ''[[Метрические пространства#defdense|нигде не плотным]]''. Вспомним определение нигде не плотности: <tex>A</tex> нигде не плотно, если <tex>\forall V \exists U \subset V: A \cap U = \emptyset</tex>. Раз <tex>X_{n_0}</tex> '''не''' является нигде не плотным, то <tex>\exists V \forall U \subset V: X_{n_0} \cap U \ne \emptyset</tex>, то есть <tex>X_{n_0}</tex> всюду плотно в каком-то открытом шаре. Теперь возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_r(a)</tex>, лежащий в этом открытом шаре, причем такой, что <tex>a \in X_{n_0}</tex>. Заметим, что множество <tex>X_{n_0}</tex> также всюду плотно в кольце <tex>R = \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \}</tex>. Сдвинем и множество <tex>X_{n_0}</tex>, и кольцо на <tex>a</tex>, то есть центр кольца окажется в точке <tex>0</tex>. Сдвинутое <tex>X_{n_0}</tex> будет также всюду плотно в сдвинутом кольце. Теперь покажем, что найдется такое множество <tex>X_m</tex>, что пересечение сдвинутого <tex>R</tex> и сдвинутого <tex>X_{n_0}</tex> лежит в <tex>X_m</tex>, то есть <tex>X_m</tex> будет всюду плотно в сдвинутом кольце. Рассмотрим кольцо: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. Обозначим <tex> y = z - a </tex>, тогда кольцо имеет следующий вид: <tex> \{\frac r2 \le \| y \| \le r \} </tex> {{---}} кольцо с центром в <tex> 0 </tex>. Будем рассматривать <tex> z \in X_{n_0} \cap \{\frac r2 \le \| z - a \| \le r \}, y = z - a</tex>. Проверим, что <tex>y</tex> войдет в какое-нибудь <tex>X_m</tex>: <tex> \| Ay \| = \frac {\| A(z - a) \|}{\| y \|} \| y \| \le \frac 2r (\| Az \| + \| Aa \|) \| y \| </tex>, так как <tex> \| y \| \ge \frac r2 </tex>.  Поскольку <tex> z \in X_{n_0} </tex>, то <tex> \| Az \| \le n_0 \| z \| </tex>.<tex> \| z \| \le \| a \| + \| z - a \| \le r + \| a \| </tex>, так как <tex> z </tex> принадлежит кольцу. Подставляем и продолжаем неравенство выше: <tex> \| Ay \| \le \frac2r (n_0 (r + \| a \|) + \| Aa \|) \| y \| </tex>.  Обозначим <tex> m = \lceil (n_0 (r + \| a \|) + \| Aa \|) \rceil </tex> (это выражение не зависит от <tex> y </tex>), получаем, что <tex> \| Ay \| \le m \| y \| \implies y \in X_m </tex>. Итак, получили, что <tex> X_m </tex> всюду плотно в кольце с центром в <tex> 0 </tex>. Возьмем теперь любой <tex> x \in X </tex>, его можно представить как <tex> x = tz, z \in \{\frac r2 \le \| z \| \le r \} </tex>. По всюду плотности в кольце, найдется последовательность <tex>y_p</tex> в <tex>X_m \cap \{\frac r2 \le \| z \| \le r \}</tex> такая, что <tex>y_p \to z </tex>. Но <tex> ty_p \to tz = x </tex>.<tex> \| A(ty_p) \| \le m \| t y_p \| \implies ty_p \in X_m </tex>. Взяв любую точку из <tex> X </tex>, мы можем приблизить ее элементами <tex> t y_p \in X_m </tex>, а значит, <tex>\mathrm{Cl} \ X_m = X </tex>, то есть <tex>X_m</tex> всюду плотно в <tex> X </tex>.}} На основе доказанной леммы можем доказать теорему: {{Теорема|id=banachhom|about=Банаха, о гомеоморфизме|statement=Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, причем осуществляющий биекцию, тогда <tex> A^{-1} </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.|proof= Если <tex> A </tex> {{---}} биекция, то <tex> A^{-1} </tex> существует. Осталось показать, что он будет ограничен. Представим <tex>Y</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} Y_n</tex>, <tex> Y_n = \{ y \in Y \mid \| A^{-1}(y) \| \le n \| y \| \}</tex> (заметим, что для леммы не требуется ограниченность оператора). По только что доказанной лемме, существет такое число <tex> n_0 </tex>, что <tex>\mathrm{Cl} Y_{n_0} = Y </tex>, обозначим этот <tex>Y_{n_0}</tex> как <tex>Y^*</tex>. Рассмотрим произвольный <tex> y \in Y </tex>. Покажем, что существует такое разложение <tex> y = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n </tex>, что <tex> y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>. По всюду плотности, для любого <tex> \varepsilon </tex> можно подобрать <tex> y_1 \in Y^* : \| y - y_1 \| < \varepsilon \| y \| </tex>.Дальше можно подобрать <tex> y_2 \in Y^* : \| (y - y_1) - y_2 \| < \frac {\varepsilon}2 \| y \| </tex>, и так далее, получаем, что <tex> \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| < \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| </tex>.  Проверим, что для всех <tex>y_n</tex> их норма удовлетворяет условию разложения: <tex> \| y_n \| \le \| \sum\limits_{k = 1}^n y_k - y + y - \sum\limits_{k = 1}^{n-1} y_k \|</tex><tex> \le \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| + \| y - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} y_k \| \le \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| + \frac {\varepsilon}{2^{n-2}} \| y \| = \frac {3\varepsilon}{2^{n-2}} \| y \| </tex> В качестве <tex> \varepsilon </tex> выберем <tex> \frac 14 </tex>, и получим необходимое разложение <tex> y </tex>. Итак, теперь <tex> y = \sum\limits_1^{\infty} y_n, y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>. Обозначим <tex> x_n = A^{-1}y_n </tex>. Рассмотрим ряд из <tex> x_n </tex>: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>, проверим сходимость ряда из норм: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| x_n \| < \infty </tex>. Вспомним, что <tex> y_n \in Y^* = Y_{n_0} </tex>.  <tex> \| x_n \| = \| A^{-1} y_n \| \le n_0 \| y_n \| \le n_0 \frac 3{2^n} \| y \| </tex>: ряд из <tex> \| x_n \| </tex> мажорируется убывающей геометрической прогрессией, а значит, сходится. Получили, что существует <tex> x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>. Используем непрерывность <tex> A </tex>: <tex> Ax = \sum\limits_{n=1}^{\infty} Ax_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n = y </tex>, получили, что <tex> Ax = y, A^{-1}y = x </tex>.  Рассмотрим норму <tex> A^{-1}y </tex>: <tex> \| A^{-1} y \| = \| x \| = \| \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n \| \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} 3n_0 \| y \| \frac 1{2^n} = 3n_0 \| y \| </tex>. Поскольку <tex> y </tex> выбирался произвольный, получаем, что <tex> A^{-1} </tex> ограничен. }} == Теорема о замкнутом графике == {{Определение|definition='''Графиком''' линейного оператора <tex> A: X \to Y </tex> называется множество <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \}, G(A) \subset X \times Y </tex>. }} В прямых произведениях множеств сходимость {{---}} покоординатная, поэтому можно говорить о замкнутости множеств. {{Теорема|about=о замкнутом графике|statement=Линейный <tex>A : X \to Y </tex> ограничен <tex> \iff </tex> <tex> G(A) </tex> {{---}} замкнут.|proof=Докажем в прямую сторону: пусть есть последовательность пар <tex> (x_n, y_n) \to (x, y) </tex>. Принадлежит ли <tex> (x, y)\, G(A) </tex> ? <tex> y_n = Ax_n, x_n \to x \implies Ax_n \to Ax, y_n \to y \implies Ax=y </tex> (по единственности предела). Так как <tex> Ax = y </tex>, то <tex> (x, Ax) = (x, y) \in G(A) </tex>. Обратное следствие интереснее. Пусть <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \} </tex> замкнут.  Можно показать, что <tex> X \times Y </tex> банахово с нормой <tex> \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| </tex>:* То, что <tex>\| (x, y) \| = \|x\| + \|y\|</tex> — норма, показывается очевидно* Покажем, что если <tex>(x_n, y_n)</tex> сходится в себе, то она сходится к элементу <tex>X \times Y</tex>. Рассмотрим последовательность <tex>\|(x_n, y_n) - (x_m, y_m) \| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, значит, <tex>\|(x_n - x_m, y_n - y_m)\| = \|x_n - x_m\| + \|y_n - y_m\| \to 0</tex>, то есть <tex>x_n</tex> и <tex>y_n</tex> сходятся в себе, а значит, по полноте пространств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, существует <tex>x \in X = \lim x_n, y \in Y = \lim y_n</tex>. Значит, <tex>(x, y) \in X \times Y</tex>. Далее очевидно показывая, что <tex>\|(x_n, y_n) - (x, y)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>, покажем, что <tex>x, y</tex> и есть нужный предел.  Рассмотрим следующий оператор: <tex> T : G(A) \to X, T(x, Ax) = x </tex>.<tex> T </tex> биективно отображает <tex> G(A) </tex> в <tex> X </tex>.  <tex> \|\| T(x, Ax) \| = \| x \| \le \| (x, Ax) \| \implies T </tex> ограничен. По теореме Банаха о гомеоморфизме, так как <tex> T </tex> ограничен и биективен, то существует <tex> T^{-1} </tex>, который также ограничен. Рассмотрим его. <tex> T^{-1}(x) = (x, Ax), \| T^{-1}(x) \| = \| x \| + \| Ax \| \le M \| x \| </tex> (по ограниченности). Получаем, что <tex> \| Ax \| \le (M - 1) \| x \| </tex>, откуда <tex> A </tex> ограничен.