Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Теорема Банаха об обратном операторе

11 240 байт добавлено, 00:28, 22 июня 2014
→‎Теорема о замкнутом графике
{{В разработке}}
__TOC__
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''непрерывно обратимым''', если существует <tex> A^{-1} : Y \to X </tex> и <tex> \| A^{-1} \| < \infty </tex>, причем <tex>A^{-1}</tex> должен быть определен на всем <tex>Y</tex>.
}}
{{Теорема
|author=Банах
|about=о непрерывной обратимости I-C
|statement=
Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, оператор <tex> C : X \to X, C \in \mathbb{L}(X) </tex> и <tex> \| C \| < 1 </tex>.
Тогда оператор <tex> I - C </tex>, где <tex> I </tex> {{---}} тождественный оператор, непрерывно обратим.
|proof=
<tex> \mathbb{L}(X) </tex> {{---}} B-пространство.
Рассмотрим следующие суммы: <tex> S_n = \sum\limits_{k=0}^n C^k </tex>.
<tex> (I - C)S_n = \sum\limits_{k=0}^n (C^k - C^{k + 1}) = I - C^{n + 1} </tex>.
<tex> \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex> {{---}} — ряд в B-пространстве <tex> \mathbb{L}(X) </tex> сходится, если сходится ряд из соответствующих норм. Из того, что Покажем это: пусть есть операторный ряд <tex> \| Csum\limits_{i=1}^k \| infty A_i</tex>. Рассмотрим последовательность частичных сумм <tex>S_n = \le sum\| C \|limits_{i=1}^k n A_i</tex>, получаем она будет сходиться если сходится в себе (по Банаховости пространства). Тогда <tex> \| S_n - S_m = \sum\limits_{ki=0m}^{n} A_i</tex>, а <tex>\|S_n - S_m\| = \| \inftysum\limits_{i=m} C^k n A_i \| \le \sum\limits_{ki=0m}^{n \infty} |A_i\| C^k </tex> (так как для конечного числа членов норма суммы меньше суммы норм), но так как последовательность норм сходится, она также сходится в себе и <tex>\| = sum\frac 1limits_{1 - i=m}^n \| C A_i\|} < \xrightarrow[n, m \to \infty ]{} 0</tex>, то есть частичные суммы сходятся в себе, а, значит, и сходятся.
Так как Из того, что <tex> \| C^k \| \le \| C \| < 1 ^k </tex>, то существует такой получаем <tex> S \in left\| \mathbbsum\limits_{Lk=0}(X) </tex>, что <tex> S = ^{\infty} C^k \right\| \le \sum\limits_{k=0}^{\infty} \| C\|^k = \frac 1{1 - \| C \|} < \infty </tex>.
<tex> S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S </tex>. Поскольку Так как <tex> \| C \| < 1 </tex>, то существует такой <tex> S \| C^k \| \to 0 in {L}(X) </tex>, а значит, и что <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k \to 0 </tex>. {{TODO|t=красивый ноль}}
<tex> S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S </tex>. Поскольку <tex> \| C \| < 1 </tex>, то <tex> \| C^k \| \to 0 </tex>, а значит, и <tex> C^k \to \mathbb{O} </tex>. <tex> (I - C)S_n = I - C^{n + 1} </tex>. Устремляя <tex> n </tex> к бесконечности, получаем <tex> (I - C)S = I </tex>, а значит <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} </tex> {{---}} — ограниченный оператор.
}}
Трактовка этой теоремы: <tex> Ix = x </tex>, <tex> I </tex> {{---}} непрерывно обратимый оператор. При каких условиях на оператор <tex> C </tex> оператор <tex> I - C </tex> сохраняет ннепрерывную обратимость? Из теоремы выше известен ответ на этот вопрос: когда <tex> \| C \| < 1 </tex>, то есть "при малых возмущениях <tex> I </tex> сохраняется его непрерывная обратимость".
'''Далее считаем, что пространства <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> {{---}} всегда банаховы.'''
{{Определение
|definition=
Рассмотрим уравнение <tex> Ax = y </tex> при заданном <tex> y </tex>. Если для такого уравнения можно написать <tex> \| x \| \le \alpha \| y \| </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} константа, то говорят, что это уравнение '''допускает априорную оценку решений'''.
{{TODO|t=Это для всех y сразу, или для каждого y своя константа?}}
}}
{{Теорема
|id=
invlb
|statement=
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex> \exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратимна <tex>R(A)</tex>.
|proof=
Заметим, что в ядре только нулевой элемент, в противном случае: пусть <tex>x \ne 0</tex>, тогда <tex>0 < m \|x\| \le \|A x\| = 0</tex>. Из этого следует, что оператор инъективен: пусть <tex>A x_1 = y, A x_2 = y</tex>, тогда <tex>A (x_1 - x_2) = 0</tex>, что возможно только когда <tex>x_1 = x_2</tex>. Так как строим обратный оператор на <tex>R(A)</tex>, <tex>\forall y \in R(A) \exists x: A x = y</tex>, то есть оператор биективен на области значений, определим <tex>A^{-1}</tex> на всем <tex>R(A)</tex> и для любого <tex>y</tex> рассмотрим <tex>x = A^{TODO-1} y</tex>. Тогда <tex> m \|x\|t=Упражнениеm \|A^{-1} y \| \le \|A A^{-1} y\| \implies \|A^{-1} y\| \le \frac{1}{m} \|y\|</tex>, доказать самим. Необходимо заткнуть.то есть оператор ограничен константой <tex>\frac{1}{m}</tex>.
}}
== Теорема Банаха о гомеоморфизме ==
Перед доказательством теоремы Банаха о гомеоморфизме докажем для начала вспомогательную лемму.
{{Утверждение
|statement=
Рассмотрим линейный оператор <tex> A : X \xrightarrow[]{linear} to Y </tex>. Обозначим <tex> X_n = \{ x \in X: \| Ax \| \le n \| x \| \} </tex>.
Тогда хотя бы одно <tex> X_n </tex> ''всюду плотно в <tex> X </tex>''.
|proof=
Очевидно, что <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X_n </tex>, <tex> X </tex> {{---}} B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по [[Метрические пространства#thbaire|теореме Бэра о категориях]], <tex> X </tex> {{---}} 2 категории , то есть какое-то множество <tex>X_{n_0}</tex> не является ''[[Метрические пространства#defdense|нигде не плотным]]''. Вспомним определение нигде не плотности: <tex>A</tex> нигде не плотно, если <tex>\forall V \exists U \subset V: A \cap U = \emptyset</tex>. Раз <tex> X_{n_0}</tex> '''не''' является нигде не плотным, то <tex>\exists V \forall U \subset V: X_{n_0} \implies cap U \ne \emptyset</tex> , то есть <tex>X_{n_0}</tex> всюду плотно в каком-то открытом шаре . Теперь возьмем замкнутый шар <tex> \overline{V_r(a)</tex>, лежащий в этом открытом шаре, причем такой, что <tex>a \in X_{n_0} </tex> . Заметим, что множество <tex>X_{n_0}</tex> также всюду плотно в кольце <tex>R = \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \}</tex>. Сдвинем и множество <tex>X_{n_0}</tex>, и кольцо на <tex>a</tex>, то есть центр кольца окажется в точке <tex>0</tex>. Сдвинутое <tex>X_{n_0}</tex> будет также всюду плотно в сдвинутом кольце. Теперь покажем, что найдется такое множество <tex>X_m</tex>, что пересечение сдвинутого <tex>R</tex> и сдвинутого <tex> X_{n_0} </tex> лежит в <tex>X_m</tex>, что оно то есть <tex>X_m</tex> будет всюду плотно в этом шаресдвинутом кольце.
Рассмотрим кольцо: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. Обозначим <tex> y = z - a </tex>, тогда кольцо имеет следующий вид: <tex> \{\frac r2 \le \| y \| \le r \} </tex> {{---}} кольцо с центром в <tex> 0 </tex>.
{{TODO|t=Какие-то странные шевеления руками. Разобраться}}При параллельном переносе свойство всюду плотности множества <tex> X_{n_0} </tex> сохраняется.  Будем рассматривать <tex> z \in X_{n_0} \cap \{\frac r2 \le \| z - a \| \le r \} , y = z - a</tex>. Проверим, что <tex>y</tex> войдет в какое-нибудь <tex>X_m</tex>:
<tex> y = z - a, \| Ay \| = \frac {\| A(z - a) \|}{\| y \|} \| y \| \le \frac 2r (\| Az \| + \| Aa \|) \| y \| </tex>, так как <tex> \| y \| \ge \frac r2 </tex>.
Поскольку <tex> z \in X_{n_0} </tex>, то <tex> \| Az \| \le n_0 \| z \| </tex>.
Итак, получили, что <tex> X_m </tex> всюду плотно в кольце с центром в <tex> 0 </tex>. Возьмем теперь любой <tex> x \in X </tex>, его можно представить как <tex> x = tz, z \in \{\frac r2 \le \| z \| \le r \} </tex>.
По доказанному вышевсюду плотности в кольце, найдется последовательность <tex> \exists y_p \in </tex> в <tex>X_m \cap \{\frac r2 \le \| z \| \le r \}</tex> такая, что <tex>y_p \to z </tex>. Но <tex> ty_p \to tz = x </tex>.
<tex> \| A(ty_p) \| \le m \| t y_p \| \implies ty_p \in X_m </tex>.
Взяв любую точку из <tex> X </tex>, мы можем приблизить ее элементами <tex> ty_p t y_p \in X_m </tex>, а значит, <tex>\mathrm{Cl} \ X_m = X </tex>, то есть <tex> X_m </tex> всюду плотно в <tex> X </tex>.
}}
{{Теорема
|id=banachhom
|about=Банаха, о гомеоморфизме
|statement=
Пусть <tex> A : X \xrightarrow[]{bijective} to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор. Тогда , причем осуществляющий биекцию, тогда <tex> A^{-1} </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.
|proof=
Если <tex> A </tex> {{---}} биекция, то <tex> A^{-1} </tex> существует. Осталось показать, что он будет непрерывен. <tex> Y_n = \{ y \in Y \mid \| A^{-1}(y) \| \le n \| y \| \} </tex>. Существует такое число <tex> n_0 </tex>, что <tex> Y_{n_0} = Y^*, \overline{Y^*} = Y </tex> (по доказанной лемме)ограничен.
Зафиксируем Представим <tex> y Y</tex>. Существует такое разложение как <tex> y = \sumbigcup\limits_1limits_{n=1}^{\infty} y_n Y_n</tex>, что <tex> y_n Y_n = \{ y \in Y^*, \mid \| y_n A^{-1}(y) \| \le \frac 3{2^n} \| y \| \}</tex>. Покажем(заметим, как его получитьчто для леммы не требуется ограниченность оператора).
По только что доказанной лемме, существет такое число <tex> n_0 </tex>, что <tex>\mathrm{Cl} Y_{TODO|tn_0} =Ниже где-то потерялась норма yY </tex>, обозначим этот <tex>Y_{n_0}</tex> как <tex>Y^*</tex>. Вроде она должна быть.}}
Для любого Рассмотрим произвольный <tex> y \varepsilon in Y </tex> можно подобрать . Покажем, что существует такое разложение <tex> y_1 : \| y - y_1 \| < = \varepsilon sum\| y limits_{n=1}^{\| infty} y_n </tex>.Дальше можно подобрать , что <tex> y_2 : y_n \in Y^*, \| (y - y_1) - y_2 y_n \| < \le \frac 3{\varepsilon2^n}2 \| y \| </tex>, и так далее...
ПолучаемПо всюду плотности, для любого <tex> \varepsilon </tex> можно подобрать <tex> y_1 \in Y^* : \| y - y_1 \| < \varepsilon \| y \| </tex>.Дальше можно подобрать <tex> y_2 \in Y^* : \| (y - y_1) - y_2 \| < \frac {\varepsilon}2 \| y \| </tex>, и так далее, получаем, что <tex> \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| < \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| </tex>.
Проверим, что для всех <tex>y_n</tex> их норма удовлетворяет условию разложения: <tex> \| y_n \| \le \| \sum\limits_{k = 1}^n y_k - y + y - \sum\limits_{k = 1}^{n-1} y_k \|</tex><tex> \le \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| + \| y - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} y_k \| \le \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| + \frac {\varepsilon}{2^{n-2}} \| y \| = \frac {3\varepsilon}{2^{n-12}} \| y \| </tex>
В качестве <tex> \varepsilon </tex> выберем <tex> \frac 12 14 </tex>, и получим необходимое разложение <tex> y </tex>.
Итак, теперь <tex> y = \sum\limits_1^{\infty} y_n, y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>.
Обозначим <tex> x_n = A^{-1}(y_n) </tex>. Рассмотрим ряд из <tex> x_n </tex>: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>: правда ли, что ряд проверим сходимость ряда из норм сходится? : <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| x_n \| < \infty </tex>.
Вспомним, что <tex> y_n \in Y^* = Y_{n_0} </tex>.
<tex> \| x_n \| = \| A^{-1}(y_n) \| \le n_0 \| y_n \| \le n_0 \frac 3{2^n} \| y \| </tex>: ряд из <tex> \| x_n \| </tex> мажорируется убывающей геометрической прогрессией, а значит, сходится. Получили, что существует <tex> x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>.
Используем непрерывность <tex> A </tex>: <tex> Ax = \sum\limits_{n=1}^{\infty} Ax_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n = y </tex>, получили, что <tex> Ax = y, A^{-1}(y) = x </tex>.
Рассмотрим норму <tex> A^{-1}(y) </tex>: <tex> \| A^{-1}(y) \| = \| x \| = \| \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n \| \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} 3n_0 \| y \| \frac 1{2^n} = 3n_0 \| y \| </tex>.
Поскольку <tex> y </tex> выбирался произвольный, получаем, что <tex> A^{-1} </tex> ограничен.
}}
Выведем пару важных следствий.== Теорема о замкнутом графике ==
{{Определение
|definition=
<tex> A : X \xrightarrow[]{linear} Y </tex>. '''Графиком''' линейного оператора <tex> A : X \to Y </tex> называется множество <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \}, G(A) \subset X \times Y </tex>.
}}
|about=о замкнутом графике
|statement=
Линейный <tex> A : X \xrightarrow[]{linear} to Y </tex>. <tex> A </tex> {{---}} ограничен <tex> \iff </tex> <tex> G(A) </tex> {{---}} замкнут.
|proof=
Докажем в прямую сторону: пусть есть последовательность пар <tex> (x_n, y_n) \to (x, y) </tex>. Принадлежит ли <tex> (x, y)\, G(A) </tex> ?
Пусть <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \} </tex> замкнут.
Можно показать, что <tex> X \times Y </tex> банахово с нормой <tex> \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| </tex>:* То, что <tex>\| (x, y) \| = \|x\| + \|y\|</tex> — норма, показывается очевидно* Покажем, что если <tex>(x_n, y_n)</tex> сходится в себе, то она сходится к элементу <tex>X \times Y</tex>. Рассмотрим последовательность <tex>\|(x_n, y_n) - (x_m, y_m) \| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, значит, <tex>\|(x_n - x_m, y_n - y_m)\| = \|x_n - x_m\| + \|y_n - y_m\| \to 0</tex>, то есть <tex>x_n</tex> и <tex>y_n</tex> сходятся в себе, а значит, по полноте пространств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, существует <tex>x \in X = \lim x_n, y \in Y = \lim y_n</tex>. Значит, <tex>(x, y) \in X \times Y</tex>. Далее очевидно показывая, что <tex>\|(x_n, y_n) - (x, y)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>, покажем, что <tex>x, y</tex> и есть нужный предел.
Рассмотрим следующий оператор: <tex> T : G(X \times YA) \to X, T(x, Ax) = x </tex>.
<tex> T </tex> биективно отображает <tex> G(A) </tex> в <tex> X </tex>.
<tex> \| x \| = \| T(x, Ax) \| = \| x \| \le \| (x, Ax) \| \implies T </tex> ограничен.
По теореме Банаха о гомеоморфизме, так как <tex> T </tex> ограничен и биективен, то существует <tex> T^{-1} </tex>, который также ограничен. Рассмотрим его.
}}
Следующее следствие из теоремы == Теорема об открытом отображении == {{Определение|definition=<tex> F : X \to Y </tex> {{---}} произвольное отображение. Если для любого открытого <tex> G \subset X </tex> <tex> F(G) </tex> открыто в <tex> Y </tex>, то <tex> F </tex> называют '''открытым отображением'''.}} {{Теорема|about=об открытом отображении|statement=Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор. Тогда <tex> A </tex> {{---}} открытое отображение.|proof=<tex> Z = \mathrm{Ker} A </tex> {{---}} линейное подпространство в <tex> X </tex>. Рассмотрим <tex> X/_Z </tex> {{---}} фактор-подпространство. <tex> i : X \to X/_Z, i(x) = [x]</tex>, где <tex> [x] </tex> {{---}} класс смежности <tex> x </tex>, <tex>i</tex> называется '''каноническим вложением''' <tex>X</tex> в фактор-пространство. Оператор <tex> i </tex> {{---}} линейный и ограниченный, переводит открытое множество в <tex> X </tex> в открытое множество в <tex> X/_Z </tex> {{TODO|t=почему это он так делает?}}, то есть открытый. * <tex>i(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = i(x) + i(y)</tex> - по свойствам фактор-множества* <tex>i(\alpha x) = [\alpha x] = \alpha [x] = \alpha i </tex> - по свойствам фактор-множства показали линейность.* <tex>\|i\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|ix\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|[x]\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} \| x- z \|_{X}</tex><tex> \le \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} (\| x \|_{X} + \| z \|_{X}) \le 1 + \inf \limits_{z \in Z} \| z \|_{X} = 1 < + \infty </tex> - показали ограниченность Введем норму как <tex>\|[x]\|_{X /_Z} = \inf\limits_{z \in Z} \| x - z \|_X</tex> (заметим, что ее значение не зависит от того, какой <tex>x \in [x]</tex> выбрать. Покажем, что это действительно норма: * положительная определенность очевидна, покажем равенство нулю только в нулевом классе эквивалентности: пусть <tex>x \ne 0, \|[x]\| = 0, x \notin [0]</tex>, тогда <tex>f(x)\ne 0</tex> и по определению инфимума, существует последовательность <tex>z_n \in Z: \|z_n - x\| \to 0</tex>, но тогда <tex>x</tex> — предел последовательности <tex>z_n</tex> и по замкнутости ядра также лежит в ядре, получили противоречие.* вторая аксиома очевидна* третья аксиома: <tex>\|[x] + [y]\| = \inf\limits_{z \in Z} \|x + y - z\|_X = \inf\limits_{z \in Z} \|x - \frac{z}{2} + y - \frac{z}{2}\| \le \inf\limits_{z \in Z}\|x - \frac{z}{2}\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - \frac{z}{2}\|</tex>. Заметим что так как <tex>Z</tex> — линейное подпространство, <tex>\frac{z}{2}</tex> пробегает те же элементы, что и <tex>z</tex>, то есть <tex>\inf\limits_{z \in Z}\|x - \frac{z}{2}\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - \frac{z}{2}\| = \inf\limits_{z \in Z}\|x - z\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - z\| = \|[x]\| + \|[y]\|</tex>. Рассмотрим <tex> U_A : X/_Z \to Y</tex>{{---}} оператор, ассоциированный с <tex> A </tex>. То, что <tex>U_A([x]) = y</tex>, означает, что для некоторого <tex>x \in [x], k \in \mathrm{Ker} A: A(x + k) = y</tex>, заметим, что при этом <tex> A = U_A \cdot i </tex>. Покажем ограниченность <tex>U_A</tex>: <tex>\|U_A\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|U_a([x])\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|A (x \in [x])\|</tex>. Покажем, что если <tex>\|[x]\| = 1</tex>, то <tex>\exists x \in [x]: \|x\| \le 1</tex>, а, значит, <tex>\|A x\| \le \|A\|</tex>. {{TODO|t=неясно, как показать}} Таким образом, получим <tex>\|x\| \le \|[x]\| = 1</tex>, и получили ограниченность. Покажем, что <tex>U_A</tex> разные классы переводит в разные точки <tex> Y </tex>, так как факторизация происходит по ядру <tex>A</tex>: пусть <tex>U_A([x]_1) = y</tex> и <tex>U_A([x]_2) = y</tex>, это значит, что <tex>A(x_1 + k_1) = y, A(x_2 + k_2) = y \implies A(x_1 + k_1) - A(x_2 + k_2) = 0</tex>, по линейности <tex>A(x_1 - x_2) + A(k_1 - k_2) = 0 \implies A(x_1 - x_2) = 0</tex>, так как <tex>k_1 - k_2</tex> в ядре. Но тогда получили, что <tex>x_1 - x_2</tex> также в ядре, то есть <tex>x_1</tex> отличается от <tex>x_2</tex> на элемент ядра, и находятся в одном классе эквивалентности, получили противоречие. Таким образом, оператор <tex> U_A : X/_Z \to R(A)</tex> биективен, следовательно, <tex>U_A^{-1} </tex> {{---}} непрерывен (по теореме Банаха связано с ), , так как <tex>U_A</tex> тоже непрерывен, то прообразы (по оператору <tex>U_A</tex>) всех открытых в <tex>Y</tex> открыты в <tex>X</tex>, а прообразы (по оператору <tex>U_A^{-1}</tex> всех открытых в <tex>X</tex> открыты в <tex>Y</tex>. Значит <tex> U_A </tex> переводит открытые множества в открытые и является открытым отображением. Так как <tex>i</tex> открытое и суперпозиция открытых отображение открыта, <tex> A </tex> тоже открыт. }} == Ссылки ==* [http://en.wikipedia.org/wiki/Open_mapping_theorem_(functional_analysis) Open mapping theorem]
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
Анонимный участник
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Служебная:Сравнение_версий/28763...39720»

Навигация