Изменения
→Теорема о замкнутом графике
|about=о непрерывной обратимости I-C
|statement=
Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, оператор <tex> C : X \to X, C \in \mathbb{L}(X) </tex> и <tex> \| C \| < 1 </tex>.
Тогда оператор <tex> I - C </tex>, где <tex> I </tex> {{---}} тождественный оператор, непрерывно обратим.
|proof=
<tex> \mathbb{L}(X) </tex> {{---}} B-пространство.
Рассмотрим следующие суммы: <tex> S_n = \sum\limits_{k=0}^n C^k </tex>.
<tex> (I - C)S_n = \sum\limits_{k=0}^n (C^k - C^{k + 1}) = I - C^{n + 1} </tex>.
<tex> \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex> {{---}} — ряд в B-пространстве <tex> \mathbb{L}(X) </tex> сходится, если сходится ряд из соответствующих норм. Покажем это: пусть есть операторный ряд <tex>\sum\limits_{i=1}^\infty A_i</tex>. Рассмотрим последовательность частичных сумм <tex>S_n = \sum\limits_{i=1}^n A_i</tex>, она будет сходиться если сходится в себе (по Банаховости пространства). Тогда <tex>S_n - S_m = \sum\limits_{i=m}^{n} A_i</tex>, а <tex>\|S_n - S_m\| = \| \sum\limits_{i=m}^n A_i \| \le \sum\limits_{i=m}^n \|A_i\|</tex> (так как для конечного числа членов норма суммы меньше суммы норм), но так как последовательность норм сходится, она также сходится в себе и <tex>\sum\limits_{i=m}^n \|A_i\| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, то есть частичные суммы сходятся в себе, а, значит, и сходятся. Из того, что <tex> \| C^k \| \le \| C \|^k </tex>, получаем <tex> \left\| \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k \right\| \le
\sum\limits_{k=0}^{\infty} \| C \|^k = \frac 1{1 - \| C \|} < \infty </tex>.
Так как <tex> \| C \| < 1 </tex>, то существует такой <tex> S \in \mathbb{L}(X) </tex>, что <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex>.
<tex> S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S </tex>. Поскольку <tex> \| C \| < 1 </tex>, то <tex> \| C^k \| \to 0 </tex>, а значит, и <tex> C^k \to \mathbb{O} </tex>.
<tex> (I - C)S_n = I - C^{n + 1} </tex>. Устремляя <tex> n </tex> к бесконечности, получаем <tex> (I - C)S = I </tex>, а значит <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} </tex> {{---}} — ограниченный оператор.
}}
Трактовка этой теоремы: <tex> Ix = x </tex>, <tex> I </tex> {{---}} непрерывно обратимый оператор. При каких условиях на оператор <tex> C </tex> оператор <tex> I - C </tex> сохраняет ннепрерывную обратимость? Из теоремы выше известен ответ на этот вопрос: когда <tex> \| C \| < 1 </tex>, то есть "при малых возмущениях <tex> I </tex> сохраняется его непрерывная обратимость".
'''Далее считаем, что пространства <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> {{---}} всегда банаховы.'''
{{Определение
|definition=
Рассмотрим уравнение <tex> Ax = y </tex> при заданном <tex> y </tex>. Если для такого уравнения можно написать <tex> \| x \| \le \alpha \| y \| </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} константа, то говорят, что это уравнение '''допускает априорную оценку решений'''.
}}
{{Теорема
|id=
invlb
|statement=
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.
Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратимна <tex>R(A)</tex>.
|proof=
}}
Вспомним определение нигде не плотности: <tex>A</tex> нигде не плотно, если <tex>\forall V \exists U \subset V: A \cap U = \emptyset</tex>. Раз <tex>X_{n_0}</tex> '''не''' является нигде не плотным, то <tex>\exists V \forall U \subset V: X_{n_0} \cap U \ne \emptyset</tex>, то есть <tex>X_{n_0}</tex> всюду плотно в каком-то открытом шаре. Теперь возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_r(a)</tex>, лежащий в этом открытом шаре, причем такой, что <tex>a \in X_{n_0}</tex>.
Заметим, что множество <tex>X_{n_0}</tex> также всюду плотно в кольце <tex>R = \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \}</tex>. Сдвинем и множество <tex>X_{n_0}</tex>, и кольцо на <tex>a</tex>, то есть центр кольца окажется в точке <tex>0</tex>. Сдвинутое <tex>X_{n_0}</tex> будет также всюду плотно в сдвинутом кольце. Теперь покажем, что найдется такое множество <tex>X_m</tex>, что пересечение сдвинутого <tex>R</tex> и сдвинутого <tex>X_{n_0}</tex> лежит в <tex>X_m</tex>, то есть <tex>X_m</tex> будет всюду плотно в сдвинутом кольце.
Рассмотрим кольцо: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. Обозначим <tex> y = z - a </tex>, тогда кольцо имеет следующий вид: <tex> \{\frac r2 \le \| y \| \le r \} </tex> {{---}} кольцо с центром в <tex> 0 </tex>.
<tex> \| Ay \| = \frac {\| A(z - a) \|}{\| y \|} \| y \| \le \frac 2r (\| Az \| + \| Aa \|) \| y \| </tex>, так как <tex> \| y \| \ge \frac r2 </tex>.
{{Теорема
|id=banachhom
|about=Банаха, о гомеоморфизме
|statement=
Пусть <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \} </tex> замкнут.
Можно показать, что <tex> X \times Y </tex> банахово с нормой <tex> \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| </tex>:* То, что <tex>\| (x, y) \| = \|x\| + \|y\|</tex> — норма, показывается очевидно* Покажем, что если <tex>(x_n, y_n)</tex> сходится в себе, то она сходится к элементу <tex>X \times Y</tex>. Рассмотрим последовательность <tex>\|(x_n, y_n) - (x_m, y_m) \| \xrightarrow[n, m \to \infty]{{TODO} 0</tex>, значит, <tex>\|(x_n - x_m, y_n - y_m)\| = \|x_n - x_m\| + \|y_n - y_m\|t\to 0</tex>, то есть <tex>x_n</tex> и <tex>y_n</tex> сходятся в себе, а значит, по полноте пространств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, существует <tex>x \in X =показать бы}\lim x_n, y \in Y = \lim y_n</tex>. Значит, <tex>(x, y) \in X \times Y</tex>. Далее очевидно показывая, что <tex>\|(x_n, y_n) - (x, y)\| \xrightarrow[n \to \infty]{}0</tex>, покажем, что <tex>x, y</tex> и есть нужный предел.
Рассмотрим следующий оператор: <tex> T : G(A) \to X, T(x, Ax) = x </tex>.
<tex> T </tex> биективно отображает <tex> G(A) </tex> в <tex> X </tex>.
<tex> \| x \| = \| T(x, Ax) \| = \| x \| \le \| (x, Ax) \| \implies T </tex> ограничен.
По теореме Банаха о гомеоморфизме, так как <tex> T </tex> ограничен и биективен, то существует <tex> T^{-1} </tex>, который также ограничен. Рассмотрим его.
<tex> Z = \mathrm{Ker} A </tex> {{---}} линейное подпространство в <tex> X </tex>.
Рассмотрим <tex> X/_Z </tex> {{---}} фактор-подпространство. <tex> i : X \to X/_Z, i(x) = [x]</tex>, где <tex> [x] </tex> {{---}} класс смежности <tex> x </tex>, <tex>i</tex> называется '''каноническим вложением''' <tex>X</tex> в фактор-пространство. Оператор <tex> i </tex> {{---}} линейный и ограниченный, переводит открытое множество в <tex> X </tex> в открытое множество в <tex> X/_Z </tex>, то есть окрытый. {{TODO|t=доказать почему этоон так делает?}}, упражнението есть открытый. Вообще интересно, как вводить норму в * <tex>i(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = i(x) + i(y)</tex> - по свойствам фактор-пространстве? Вот множества* <tex>i(\alpha x) = [\alpha x] = \alpha [http:x] = \alpha i <//entex> - по свойствам фактор-множства показали линейность.wikipedia.org* <tex>\|i\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|ix\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|[x]\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} \| x- z \|_{X}</wiki/Quotient_space_tex><tex> \le \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} (linear_algebra\| x \|_{X} + \| z \|_{X}) тут] вводят \le 1 + \inf \limits_{z \in Z} \| z \|_{X} = 1 < + \infty </tex> - показали ограниченность Введем норму как <tex>\|[x]\|_{X /_M_Z} = \inf\limits_{m z \in MZ} \| x - m z \|_X</tex>(заметим, что ее значение не зависит от того, какой <tex>x \in [x]</tex> выбрать. Покажем, что это действительно норма: * положительная определенность очевидна, покажем равенство нулю только в нулевом классе эквивалентности: пусть <tex>x \ne 0, \|[x]\| = 0, x \notin [0]</tex>, тогда <tex>f(x)\ne 0</tex> и по определению инфимума, выглядит логичносуществует последовательность <tex>z_n \in Z: \|z_n - x\| \to 0</tex>, но Додонов все равно вроде об этом не говорилтогда <tex>x</tex> — предел последовательности <tex>z_n</tex> и по замкнутости ядра также лежит в ядре, получили противоречие.* вторая аксиома очевидна* третья аксиома: <tex>\|[x] + [y]\| = \inf\limits_{z \in Z} \|x + y - z\|_X = \inf\limits_{z \in Z} \|x - \frac{z}{2} + y - \frac{z}{2}\| \le \inf\limits_{z \in Z}\|x - \frac{z}{2}\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - \frac{z}{2}\|</tex>.Заметим что так как <tex>Z</tex> — линейное подпространство, <tex>\frac{z}{2}</tex> пробегает те же элементы, что и <tex>z</tex>, то есть <tex>\inf\limits_{z \in Z}\|x - \frac{z}{2}\| + \inf\limits_{z \in Z}\|y - \frac{z}{2}\| = \inf\limits_{z \in Z}\|x - z\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - z\| = \|[x]\| + \|[y]\|</tex>.
Рассмотрим <tex> U_A : X/_Z \to Y</tex>{{---}} оператор, ассоциированный с <tex> A </tex>. То, что <tex>U_A([x]) = y</tex>, означает, что для некоторого <tex>x \in [x], k \in \mathrm{Ker} A: A(x + k) = y</tex>, заметим, что при этом <tex> A = U_A \cdot i </tex>. Покажем ограниченность <tex>U_A</tex>: <tex>\|U_A\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|U_a([x])\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|A (x \in [x])\|</tex>. Покажем, что если <tex>\|[x]\| = 1</tex>, то <tex>\exists x \in [x]: \|x\| \le 1</tex>, а, значит, <tex>\|A x\| \le \|A\|</tex>. {{TODO|t=неясно, как показать}} Таким образом, получим <tex>\|x\| \le \|[x]\| = 1</tex>, и получили ограниченность.
Покажем, что <tex>U_A</tex> разные классы переводит в разные точки <tex> Y </tex>, так как факторизация происходит по ядру <tex>A</tex>: пусть <tex>U_A([x]_1) = y</tex> и <tex>U_A([x]_2) = y</tex>, это значит, что <tex>A(x_1 + k_1) = y, A(x_2 + k_2) = y \implies A(x_1 + k_1) - A(x_2 + k_2) = 0</tex>, по линейности <tex>A(x_1 - x_2) + A(k_1 - k_2) = 0 \implies A(x_1 - x_2) = 0</tex>, так как <tex>k_1 - k_2</tex> в ядре. Но тогда получили, что <tex>x_1 - x_2</tex> также в ядре, то есть <tex>x_1</tex> отличается от <tex>x_2</tex> на элемент ядра, и находятся в одном классе эквивалентности, получили противоречие.
Таким образом, оператор <tex> U_A : X/_Z \to R(A)</tex> биективен, следовательно, <tex>U_A^{-1} </tex> {{---}} ограничен непрерывен (по теореме Банаха), значит , так как <tex>U_A</tex> тоже непрерывен, то прообразы (по оператору <tex> U_A </tex> — открытое отображение ) всех открытых в <tex>Y</tex> открыты в <tex>X</tex>, а прообразы (по оператору <tex>U_A^{{TODO|t=почему? Тут как-то надо, кажется, использовать, что для непрерывного отображения прообраз открытого 1}</tex> всех открытых в <tex>X</tex> открыты в <tex>Y</tex>. Значит <tex> U_A </tex> переводит открытые множества открыт, но пока непонятно}}, а так в открытые и является открытым отображением. Так как <tex>i</tex> открытое и суперпозиция открытых отображение открыта, <tex> A </tex> тоже открыт.
}}
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Open_mapping_theorem_(functional_analysis) Open mapping theorem]
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
