Изменения

Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, оператор <tex> C : X \to X, C \in \mathbb{L}(X) </tex> и <tex> \| C \| < 1 </tex>.

<tex> \mathbb{L}(X) </tex> {{---}} B-пространство.

<tex> \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex> {{---}} — ряд в B-пространстве <tex> \mathbb{L}(X) </tex> сходится, если сходится ряд из соответствующих норм. Покажем это: пусть есть операторный ряд <tex>\sum\limits_{i=1}^\infty A_i</tex>. Рассмотрим последовательность частичных сумм <tex>S_n = \sum\limits_{i=1}^n A_i</tex>, она будет сходиться если сходится в себе (по Банаховости пространства). Тогда <tex>S_n - S_m = \sum\limits_{i=m}^{n} A_i</tex>, а <tex>\|S_n - S_m\| = \| \sum\limits_{i=m}^n A_i \| \le \sum\limits_{i=m}^n \|A_i\|</tex> (так как для конечного числа членов норма суммы меньше суммы норм), но так как последовательность норм сходится, она также сходится в себе и <tex>\sum\limits_{i=m}^n \|A_i\| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, то есть частичные суммы сходятся в себе, а, значит, и сходятся.

Так как <tex> \| C \| < 1 </tex>, то существует такой <tex> S \in \mathbb{L}(X) </tex>, что <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex>.

<tex> (I - C)S_n = I - C^{n + 1} </tex>. Устремляя <tex> n </tex> к бесконечности, получаем <tex> (I - C)S = I </tex>, а значит <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} </tex> {{---}} — ограниченный оператор.

Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, действующий на все <tex>Y</tex>, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратимна <tex>R(A)</tex>.

Заметим, что в ядре только нулевой элемент, в противном случае: пусть <tex>x \ne 0</tex>, тогда <tex>0 < m \|x\| \le \|A x\| = 0</tex>. Из этого следует, что оператор инъективен: пусть <tex>A x_1 = y, A x_2 = y</tex>, тогда <tex>A (x_1 - x_2) = 0</tex>, что возможно только когда <tex>x_1 = x_2</tex>. Так как для каждого строим обратный оператор на <tex>R(A)</tex>, <tex>\forall y \in Y R(A) \exists x: A x = y</tex>, то есть оператор биективенна области значений, определим <tex>A^{-1}</tex> на всем <tex>YR(A)</tex> и для любого <tex>y</tex> рассмотрим <tex>x = A^{-1} y</tex>. Тогда <tex> m \|x\| = m \|A^{-1} y \| \le \|A A^{-1} y\| \implies \|A^{-1} y\| \le \frac{1}{m} \|y\|</tex>, то есть оператор ограничен константой <tex>\frac{1}{m}</tex>.

* Покажем, что если <tex>(x_n, y_n)</tex> сходится в себе, то она сходится к элементу <tex>X \times Y</tex>. Рассмотрим последовательность <tex>\|(x_n, y_n) - (x_m, y_m) \| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, значит, <tex>\|(x_n - x_nx_m, y_m y_n - y_m)\| = \|x_n - x_m\| + \|y_n - y_m\| \to 0</tex>, то есть <tex>x_n</tex> и <tex>y_n</tex> сходятся в себе, а значит, по полноте пространств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, существует <tex>x \in X = \lim x_n, y \in Y = \lim y_n</tex>. Значит, <tex>(x, y) \in X \times Y</tex>. Далее очевидно показывая, что <tex>\|(x_n, y_n) - (x, y)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>, покажем, что <tex>x, y</tex> и есть нужный предел.

* положительная определенность очевидна, покажем равенство нулю ???только в нулевом классе эквивалентности: пусть <tex>x \ne 0, \|[x]\| = 0, x \notin [0]</tex>, тогда <tex>f(x)\ne 0</tex> и по определению инфимума, существует последовательность <tex>z_n \in Z: \|z_n - x\| \to 0</tex>, но тогда <tex>x</tex> — предел последовательности <tex>z_n</tex> и по замкнутости ядра также лежит в ядре, получили противоречие.