26
правок
Изменения
Нет описания правки
}}
{{Утверждение
Взяв любую точку из <tex> X </tex>, мы можем приблизить ее элементами <tex> ty_p \in X_m </tex>, а значит, <tex> X_m </tex> всюду плотно в <tex> X </tex>.
}}
На основе доказанной леммы можем доказать теорему:
{{Теорема
|about=Банаха, о гомеоморфизме
|statement=
Пусть <tex> A : X \xrightarrow[]{bijective} Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.
Тогда <tex> A^{-1} </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.
|proof=
Если <tex> A </tex> {{---}} биекция, то <tex> A^{-1} </tex> существует. Осталось показать, что он будет непрерывен.
Существует такое число <tex> n_0 </tex>, что <tex> Y_{n_0} = Y^*, \overline{Y^*} = Y </tex> (по доказанной лемме).
Зафиксируем <tex> y </tex>. Существует такое разложение <tex> y = \sum\limits_1^{\infty} y_n </tex>, что <tex> y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>. Покажем, как его получить.
{{TODO|t=Ниже где-то потерялась норма y. Вроде она должна быть.}}
Для любого <tex> \varepsilon </tex> можно подобрать <tex> y_1 : \| y - y_1 \| < \varepsilon \| y \| </tex>.
Дальше можно подобрать <tex> y_2 : \| (y - y_1) - y_2 \| < \frac {\varepsilon}2 \| y \| </tex>, и так далее...
Получаем, что <tex> \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| < \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| </tex>.
<tex> \| y_n \| \le \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| + \| y - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} y_k \| \le \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| + \frac {\varepsilon}{2^{n-2}} \| y \| = \frac {3\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| </tex>
В качестве <tex> \varepsilon </tex> выберем <tex> \frac 12 </tex>, и получим необходимое разложение <tex> y </tex>.
Итак, теперь <tex> y = \sum\limits_1^{\infty} y_n, y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>.
Обозначим <tex> x_n = A^{-1}(y_n) </tex>. Рассмотрим ряд из <tex> x_n </tex>: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>: правда ли, что ряд из норм сходится? <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| x_n \| < \infty </tex>.
Вспомним, что <tex> y_n \in Y_{n_0} </tex>.
<tex> \| x_n \| = \| A^{-1}(y_n) \| \le n_0 \| y_n \| \le n_0 \frac 3{2^n} \| y \| </tex>: ряд из <tex> \| x_n \| </tex> мажорируется убывающей геометрической прогрессией, а значит, сходится. Получили, что существует <tex> x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>.
Используем непрерывность <tex> A </tex>: <tex> Ax = \sum\limits_{n=1}^{\infty} Ax_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n = y </tex>, получили, что <tex> Ax = y, A^{-1}(y) = x </tex>.
Рассмотрим норму <tex> A^{-1}(y) </tex>: <tex> \| A^{-1}(y) \| = \| x \| = \| \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n \| \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} 3n_0 \| y \| \frac 1{2^n} = 3n_0 \| y \| </tex>.
Поскольку <tex> y </tex> выбирался произвольный, получаем, что <tex> A^{-1} </tex> ограничен.
}}
Выведем пару важных следствий.
{{Определение
|definition=
<tex> A : X \xrightarrow[]{linear} Y </tex>. '''Графиком''' оператора <tex> A </tex> называется множество <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \}, G(A) \subset X \times Y </tex>.
}}
В прямых произведениях множеств сходимость {{---}} покоординатная, поэтому можно говорить о замкнутости множеств.
{{Теорема
|about=о замкнутом графике
|statement=
<tex> A : X \xrightarrow[]{linear} Y </tex>. <tex> A </tex> {{---}} ограничен <tex> \iff </tex> <tex> G(A) </tex> {{---}} замкнут.
|proof=
Докажем в прямую сторону: пусть есть последовательность пар <tex> (x_n, y_n) \to (x, y) </tex>. Принадлежит ли <tex> (x, y)\, G(A) </tex> ?
<tex> y_n = Ax_n, x_n \to x \implies Ax_n \to Ax, y_n \to y \implies Ax=y </tex> (по единственности предела).
Так как <tex> Ax = y </tex>, то <tex> (x, Ax) = (x, y) \in G(A) </tex>.
Обратное следствие интереснее.
Пусть <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \} </tex> замкнут.
Можно показать, что <tex> X \times Y </tex> банахово с нормой <tex> \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| </tex>.
Рассмотрим следующий оператор: <tex> T : (X \times Y) \to X, T(x, Ax) = x </tex>.
<tex> T </tex> биективно отображает <tex> G(A) </tex> в <tex> X </tex>.
<tex> \| x \| = \| T(x, Ax) \| \le \| (x, Ax) \| \implies T </tex> ограничен.
По теореме Банаха о гомеоморфизме, так как <tex> T </tex> ограничен и биективен, то существует <tex> T^{-1} </tex>, который также ограничен. Рассмотрим его.
<tex> T^{-1}(x) = (x, Ax), \| T^{-1}(x) \| = \| x \| + \| Ax \| \le M \| x \| </tex> (по ограниченности). Получаем, что <tex> \| Ax \| \le (M - 1) \| x \| </tex>, откуда <tex> A </tex> ограничен.
}}
Следующее следствие из теоремы Банаха связано с открытым отображением.
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
