Изменения

Очевидно, что <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X_n </tex>, <tex> X </tex> {{---}} B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по [[Метрические пространства#thbaire|теореме Бэра о категориях]], <tex> X </tex> {{---}} 2 категории, то есть какое-то множество <tex>X_{n_0}</tex> всюду не является ''[[Метрические пространства#defdense|нигде не плотным]]''. Вспомним определение нигде не плотности: <tex>A</tex> нигде не плотно в , если <tex>\forall V \exists U \subset V: A \cap U = \emptyset</tex>. Раз <tex>XX_{n_0}</tex>'''не''' является нигде не плотным, ато <tex>\exists V \forall U \subset V: X_{n_0} \cap U \ne \emptyset</tex>, значит, и всюду плотно то есть <tex>X_{n_0}</tex> в произвольном каком-то открытом шаре . Теперь возьмем замкнутый шар <tex> \overline{V_r(a)</tex>, лежащий в этом открытом шаре, причем такой, что <tex>a \in X_{n_0} \subset X</tex>.

{{TODO|t=Какие-то странные шевеления руками. Разобраться}}При Заметим, что при параллельном переносе на <tex>a</tex> свойство всюду плотности множества <tex> X_{n_0} </tex> сохраняется.

Будем рассматривать <tex> z \in X_{n_0} \cap \{\frac r2 \le \| z - a \| \le r \} , y = z - a</tex>. Проверим, что <tex>y</tex> войдет в какое-нибудь <tex>X_n</tex>:

<tex> y = z - a, \| Ay \| = \frac {\| A(z - a) \|}{\| y \|} \| y \| \le \frac 2r (\| Az \| + \| Aa \|) \| y \| </tex>, так как <tex> \| y \| \ge \frac r2 </tex>.

По доказанному вышевсюду плотности в кольце, найдется последовательность <tex> \exists y_p \in </tex> в <tex>X_m \cap \{\frac r2 \le \| z \| \le r \}</tex> такая, что <tex>y_p \to z </tex>. Но <tex> ty_p \to tz = x </tex>.

Взяв любую точку из <tex> X </tex>, мы можем приблизить ее элементами <tex> ty_p t y_p \in X_m </tex>, а значит, <tex>\mathrm{Cl} \ X_m = X </tex>, то есть <tex> X_m </tex> всюду плотно в <tex> X </tex>.