Изменения

Можно показать, что <tex> X \times Y </tex> банахово с нормой <tex> \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| </tex>:* То, что <tex>\| (x, y) \| = \|x\| + \|y\|</tex> — норма, показывается очевидно* Покажем, что если <tex>(x_n, A x_n)</tex> сходится в себе, то она сходится к элементу <tex>X \times Y</tex>. {{TODOПусть <tex>\|t(x_n, A x_n) - (x_m, A x_m)\| \to 0</tex>, тогда <tex>\|(x_n - x_m, A x_n - A x_m))\| \to 0</tex>, и по определению нормы <tex>X \times Y</tex>, <tex>\|x_n - x_m\| + \|A x_n - A x_m\| = 0</tex>, значит, <tex>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> и <tex>\|A x_n - A x_m\| \to 0</tex>, по полноте <tex>X</tex>, существует <tex>\lim x_n = x \in X</tex>; по полноте <tex>Y</tex>, существует <tex>\lim A x_n = y \in Y</tex>. Но по непрерывности <tex>A</tex>, <tex>y = \lim A x_n = A \lim x_n = A x</tex>, а значит, пара <tex>(x, y =показать бы}}A x)</tex> также в <tex>X \times Y</tex>