Эта статья находится в разработке!
| Определение: |
| Оператор [math] A : X \to Y [/math] называется непрерывно обратимым, если существует [math] A^{-1} : Y \to X [/math] и [math] \| A^{-1} \| \lt \infty [/math]. |
| Теорема: |
Пусть [math] X [/math] — B-пространство, оператор [math] C : X \to X, C \in \mathbb{L}(X) [/math] и [math] \| C \| \lt 1 [/math].
Тогда оператор [math] I - C [/math], где [math] I [/math] — тождественный оператор, непрерывно обратим. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math] \mathbb{L}(X) [/math] — B-пространство.
Рассмотрим следующие суммы: [math] S_n = \sum\limits_{k=0}^n C^k [/math].
[math] (I - C)S_n = \sum\limits_{k=0}^n (C^k - C^{k + 1}) = I - C^{n + 1} [/math].
[math] \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k [/math] — ряд в B-пространстве [math] \mathbb{L}(X) [/math] сходится, если сходится ряд из соответствующих норм. Из того, что [math] \| C^k \| \le \| C \|^k [/math], получаем [math] \| \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k \| \le
\sum\limits_{k=0}^{\infty} \| C^k \| = \frac 1{1 - \| C \|} \lt \infty [/math].
Так как [math] \| C \| \lt 1 [/math], то существует такой [math] S \in \mathbb{L}(X) [/math], что [math] S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k [/math].
[math] S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S [/math]. Поскольку [math] \| C \| \lt 1 [/math], то [math] \| C^k \| \to 0 [/math], а значит, и [math] C^k \to 0 [/math].
TODO: красивый ноль
[math] (I - C)S_n = I - C^{n + 1} [/math]. Устремляя [math] n [/math] к бесконечности, получаем [math] (I - C)S = I [/math], а значит [math] S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} [/math] — ограниченный оператор. |
| [math]\triangleleft[/math] |
