Изменения

| statement = Существуют такие оракулы <tex>A</tex> и <tex>B</tex>, что <tex>\mathrm{P^A} = \mathrm{NP^A} </tex> и <tex>\mathrm{P^B} \ne \mathrm{NP^B} </tex>.

* Покажем существование такого '''Существование оракула <tex>A</tex>, что ''' Рассмотрим [[PS-полнота языка верных булевых формул с кванторами (TQBF) | PS-полный язык <tex>\mathrm{P^A} = \mathrm{NP^ATQBF} </tex>]]. Рассмотрим язык  <tex> \mathrm{P^{TQBF} = } \overset{(1)}{ \Phi | subseteq}\mathrm{NP^{TQBF}} \overset{(2)}{\Phi subseteq}\--</tex> булева формула с кванторами <tex>, mathrm{NPS^{TQBF}} \Phi overset{(3)}{= 1}\mathrm{PS^{TQBF}} \overset{(4)}</tex>. [[{=}\mathrm{PS-полнота языка верных булевых формул с кванторами } \overset{(TQBF5) | <tex> }{\subseteq}\mathrm{P^{TQBF} }\Rightarrow</tex> является <br/><tex>PS\Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}</tex>-полным языком]].**# <tex> \mathrm{P} \subset subseteq \mathrm{NP} \Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} \subset subseteq \mathrm{NP^{TQBF}} </tex>.** # Так как <tex>TS(p,x) \ge Sle T(p, x)</tex>, для любых то <tex>p, x \mathrm{NP} \subseteq \mathrm{NPS} \Rightarrow \mathrm{NP^{TQBF}} \subset subseteq \mathrm{NPS^{TQBF}}</tex>.** # По [[ Класс PS. Теорема Сэвича. Совпадение классов NPS и PS | теореме Сэвича]] <tex> \mathrm{NPS^{TQBF}} = \mathrm{PS^{TQBF}} </tex>.** # <tex> \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PS} \Rightarrow \mathrm{PS^{TQBF}} = \mathrm{PS} </tex>.** # <tex> \mathrm{TQBF} \-- in \mathrm{PSPSC}</tex>-полная <tex>\Rightarrow \mathrm{PS} \in subseteq \mathrm{P^{TQBF}}</tex> . 

* Покажем существование такого ---- '''Существование оракула <tex>B</tex>, что <tex>\mathrm{P^B} \ne \mathrm{NP^B} </tex>.''' Пусть <tex>B\--</tex> — произвольное множество, а <tex>U_B = \{1^n \bigm| \exists x</tex>, что <tex>\in B : |x| = n\}</tex>. Ясно, что <tex>\forall B: </tex> выполнено <tex>U_B \in \mathrm{NP}^B}</tex> (легко написать программу, проверяющую сертификатсертификатом будет слово нужной длины из <tex>B</tex>). Построим такое множество <tex>B</tex>, что <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B}</tex>.Рассмотрим Пронумеруем полиномиальные программы, получим последовательность машин Тьюринга <tex>M_iP_i</tex>. Множество <tex>B</tex> будем строить итеративно, на очередной итерации номер <tex>i</tex> делая так, что программа <tex>P_i</tex> не распознает множество <tex>U_B</tex>. В начале каждой итерации определимся с тем, имеющих доступ к оракулу языка с какой длиной слова <tex>n_i</tex> мы будем работать. Для <tex>n_i</tex> должны быть выполнены три условия:* <tex>2^{n_i} > T(P_i, (1)^{n_i})</tex> (это ограничение может быть достигнуто, так как мы исследуем только полиномиальные программы)* <tex>n_i > n_{i-1}</tex> (слово должно быть длиннее, чем слово, с которым мы работали на предыдущем шаге)* <tex>n_i > \max\limits_{s \in B} |s|</tex>, где <tex>B</tex> {{---}} текущая версия множества, которое мы строим (это ограничение может быть достигнуто, так как в множестве <tex>B</tex>всегда конечное число элементов). Построение множество Кроме этого, слово должно быть длиннее, чем все слова, про которые наш оракул раньше ответил, что в множестве <tex>B</tex> разделим их нет. Затем запустим программу <tex>P_i</tex> на счетное число шаговслове <tex>(1)^n</tex>. Будем строить Каждый раз, когда она будет обращаться к оракулу для множества <tex>B</tex>, будем делать следующее:* если запрошенное слово ранее было добавлено в множество <tex>B</tex> так, отвечаем <tex>ACCEPT</tex>* в противном случае отвечаем <tex>REJECT</tex> Если программа отработала и решила, что на слово <tex>(1)^n</tex> принадлежит языку <tex>U_B</tex>, ничего делать не надо: ни одного слова длины <tex>n</tex> в языке <tex>B</tex>iнет (из-за третьего требования к длине обрабатываемых слов), и никогда не появится (из-за второго требования к длине обрабатываемых слов). В противном случае, необходимо найти такое слово длины <tex>n</tex>, о котором программа <tex>P_i</tex>м шаге выполненоне спрашивала оракул (оно всегда существует из-за первого требования к длине обрабатываемых слов: программа просто не успела бы спросить обо всех словах длины <tex>n</tex>), и добавить это слово в множество <tex>B</tex>. После этого все слова длины <tex>n</tex> автоматически добавятся в язык <tex>U_B</tex>, и программа <tex>P_i</tex> не будет верно распознавать этот язык (она будет неверно работать на слове <tex>T(M_i, x1) \ge \frac{2^n}{10}</tex>).