Изменения

'''Существование оракула <tex>A</tex>.'''

Покажем существование такого оракула Рассмотрим [[PS-полнота языка верных булевых формул с кванторами (TQBF) | PS-полный язык <tex>A\mathrm{TQBF}</tex>, что ]]. <tex>\mathrm{P^A{TQBF}} = \overset{(1)}{\subseteq}\mathrm{NP^A{TQBF} </tex>. Рассмотрим язык <tex> } \overset{(2)}{\subseteq}\mathrm{NPS^{TQBF}} \overset{(3)}{=}\mathrm{PS^{TQBF} } \overset{(4)}{= }\mathrm{PS} \overset{(5)}{ \Phi | subseteq}\Phi mathrm{P^{TQBF}}\--Rightarrow</tex> булева формула с кванторами <br/><tex>, \Phi = 1Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}</tex>. [[PS-полнота языка верных булевых формул с кванторами (TQBF) | <tex> } = \mathrm{NP^{TQBF}} </tex> является <tex>PS</tex>-полным языком]].*# <tex> \mathrm{P} \subset subseteq \mathrm{NP} \Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} \subset subseteq \mathrm{NP^{TQBF}} </tex>.* # Так как <tex>TS(p,x) \ge Sle T(p, x)</tex>, для любых то <tex>p, x \mathrm{NP} \subseteq \mathrm{NPS} \Rightarrow \mathrm{NP^{TQBF}} \subset subseteq \mathrm{NPS^{TQBF}}</tex>.* # По [[ Класс PS. Теорема Сэвича. Совпадение классов NPS и PS | теореме Сэвича]] <tex> \mathrm{NPS^{TQBF}} = \mathrm{PS^{TQBF}} </tex>.* # <tex> \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PS} \Rightarrow \mathrm{PS^{TQBF}} = \mathrm{PS} </tex>.* # <tex> \mathrm{TQBF} \-- in \mathrm{PSPSC}</tex>-полный <tex>\Rightarrow \mathrm{PS} \in subseteq \mathrm{P^{TQBF}}</tex>. Следовательно, <tex>\mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}</tex>.

'''Существование оракула <tex>B</tex>.''' Пусть <tex>B</tex> — произвольное множество, а <tex>U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}</tex>. Ясно, что <tex>\forall B</tex> выполнено <tex>U_B \in \mathrm{NP}^B</tex> (сертификатом будет слово нужной длины из <tex>B</tex>). Построим такое множество <tex>B</tex>, что <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>.

Покажем существование такого оракула <tex>B</tex>Пронумеруем полиномиальные программы, что получим последовательность <tex>\mathrm{P^B} \ne \mathrm{NP^B} P_i</tex>. Пусть Множество <tex>B</tex> — произвольное множествобудем строить итеративно, а на очередной итерации номер <tex>U_B = \{1^n | \exists xi</tex>делая так, что программа <tex>|x| = n\}P_i</tex>. Ясно, что <tex>\forall B: U_B \in \mathrm{NP^B}</tex> (легко написать программу, проверяющую сертификат). Построим такое не распознает множество <tex>B</tex>, что <tex>U_B \not\in \mathrm{P^B}</tex>.

Рассмотрим последовательность машин Тьюринга <tex>M_i</tex>В начале каждой итерации определимся с тем, имеющих доступ к оракулу языка с какой длиной слова <tex>Bn_i</tex>мы будем работать. Построение множество Для <tex>Bn_i</tex> разделим на счетное число шагов. Будем строить должны быть выполнены три условия:* <tex>B</tex> так, чтобы на <tex>i</tex>-м шаге было выполнено: <tex2^{n_i} >T(M_iP_i, x(1) \ge 2^{n-1n_i})</tex>. Очевидно, что (это утверждение сильнееограничение может быть достигнуто, чем <tex>U_B \not\in \mathrm{P^B}</tex>. Начнем поэтапно строить множество <tex>B</tex>.так как мы исследуем только полиномиальные программы)* 0-й шаг: <tex>B \leftarrow \emptyset </tex>* <texn_i >i</tex>-й шаг. Будем считать шаги с 0-го по <tex>(n_{i-1)</tex>-й сделаны. Тогда <tex>B}</tex> на данном этапе — конечное множество слов. Пусть самое длинное из них состоит из <tex>(n-1)</tex>-го символа. Запустим машину <tex>M_i</tex> на входе <tex>1^n</tex> на <tex>2^{n-1}</tex> шагов. Когда <tex>M_i</tex> требуется ответ оракула языка <tex>B</tex> о слове <tex>x</tex>слово должно быть длиннее, чем слово, будем определять принадлежность этого слова к <tex>B</tex>:** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> была определена с которым мы работали на предыдущем шаге, то она сохраняется;)** если принадлежность <tex>x</texn_i > множеству <tex>B</tex> не установлена ранее, то далее считаем, что <tex>x \notmax\limits_{s \in B} |s|</tex>.Но , где <tex>M_iB</tex> могла остановится раньше, чем за <tex>2^{n{---1}</tex> шагов и вернуть какое-либо значение. Но } текущая версия множества, которое мы строим (это ограничение может быть достигнуто, так как в множестве <tex>B</tex> с условием <tex>T(M_i, xвсегда конечное число элементов) \ge 2^{n-1}</tex>. Кроме этого, поэтому решение машины слово должно быть неверным:* если <tex>M_i</tex> приняла словодлиннее, то будем считать, что выбросим из <tex>B</tex> чем все слова вида <tex>\{0,1\}^n</tex>;* Если <tex>M_i</tex> отклонила словопро которые наш оракул раньше ответил, то выберем слово <tex>x</tex> длины <tex>n</tex>, принадлежность которого <tex>Bчто в множестве </tex> еще не определено. Тогда <tex>x \in B</tex>. Такое слово всегда найдется, так как на предыдущий шагах мы могли сделать не более, чем <tex>2^n-1</tex> запросов к оракулу, а всего слов длины n <tex>2^n</tex>их нет.

Предположим, что Затем запустим программу <tex>M_iP_i</tex> отработала менее, чем за время на слове <tex>2(1)^{n-1}</tex>. Каждый раз, когда она будет обращаться к оракулу для множества <tex>B</tex>, тогда будем делать следующее:*если запрошенное слово ранее было добавлено в множество <tex>M_iB</tex> допускает , отвечаем <tex>ACCEPT</tex>* в противном случае отвечаем <tex>REJECT</tex> Если программа отработала и решила, что слово <tex>(1)^n</tex>, то в принадлежит языку <tex>BU_B</tex> нет , ничего делать не надо: ни одного слова длины <tex>1^n</tex>;*если в языке <tex>M_iB</tex> отклоняет нет (из-за третьего требования к длине обрабатываемых слов), и никогда не появится (из-за второго требования к длине обрабатываемых слов). В противном случае, необходимо найти такое слово длины <tex>1^n</tex>, то в о котором программа <tex>BP_i</tex> содержится слово не спрашивала оракул (оно всегда существует из-за первого требования к длине обрабатываемых слов: программа просто не успела бы спросить обо всех словах длины <tex>xn</tex>), причем и добавить это слово в множество <tex>|x| = nB</tex>.Противоречие.Следовательно, После этого все слова длины <tex>M_in</tex> не может решить автоматически добавятся в язык <tex>U_B</tex> за время меньшее , и программа <tex>P_i</tex> не будет верно распознавать этот язык (она будет неверно работать на слове <tex>2(1)^{n-1}</tex>).