Изменения

== Вспомогательная Лемма лемма ==

|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{- --}} произвольный [[Отношение связности, компоненты связности|связный ]] неориентированный граф и <tex>\Delta(G)</tex> {{- --}} максимальная степень вершин <tex>G</tex>. Если в таком графе существует вершина <tex>vw</tex> степени <tex> \deg\ v w < \Delta(G)</tex>, то <tex>\chi(G) \le leqslant \Delta(G)</tex>.

[[Файл:Brooks_1.png‎|400px|thumb|Алгоритм раскраски на пятом шаге]]Запустим алгоритм [[Обхода Обход в ширину| обхода в ширину]] из вершины v<tex>w</tex>. Пронумеруем вершины <tex>v_1,...,v_n,</tex> где <tex>v_i</tex> вершина рассмотренная на <tex>i</tex>-ом шаге алгоритма bfs. Далее начнем красить вершины в обратном порядке в один из <tex>\Delta</tex> цветов так, чтобы никакое ребро графа не соединяло вершины одного цвета. Заметим, что так всегда можно сделать, поскольку на На <tex> i</tex>-ом шаге покраски, для вершины <tex> v_{n - i+1}</tex> есть не более <tex>\Delta(G) - 1</tex> уже покрашенных соседей(т.к <tex> \deg(v_{n - i+1}) \leqslant \Delta(G)</tex> и предок данной вершины в дереве bfs еще не покрашен, а если предка нет, то это вершина и есть <tex>w</tex>), следовательно вершину <tex> v_{n-i+1}</tex> можно покрасить по крайней мере в один из свободных цветов.Таким образом Поскольку на каждом шаге алгоритм отработает корректно, следовательно граф можно покрасить правильно раскрасить в не более чем <tex> \Delta</tex> цветов, следовательно то есть <tex> \chi(G) \le leqslant \Delta(G)</tex>.

|statement=Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} связный неориентированный граф и <tex>G</tex> не является <tex>K_m</tex> или <tex>C_{2m+1}</tex>, ни для кого <tex> m</tex>, то тогда <tex>\chi(G) \le leqslant \Delta(G)</tex>, где <tex>\Delta(G)</tex> {{- --}} максимальная степень вершин <tex>G</tex>

Для доказательства теоремы рассмотрим несколько случаев:#<tex>\Delta(G) \leqslant 2</tex>, тогда:#*Если <tex> \Delta = 0</tex>, <tex> G = K_1</tex>#*Если <tex> \Delta = 1</tex>, <tex> G = K_2</tex>#*Если <tex> \Delta = 2</tex>, то:#*# <tex> G </tex>{{---}} либо дерево либо четный цикл и тогда <tex> \chi(G) = 2</tex>#*#<tex> G</tex> нечетный циклПоэтому мы будем считать до конца доказательства, что #<tex> \Delta(G) \ge geqslant 3</tex>.Если в <tex>G</tex> существует вершина <tex>v</tex> степени <tex> deg\ v < \Delta(G)</tex>, то по выше доказанной лемме <tex> \chi(G) \le \Delta(G)</tex>. То есть осталось рассмотреть случай, когда <tex>G</tex> {{---}} планарный граф.тогда:##Если <tex>G</tex> не является вершинно двусвязным графом, тогда в графе <tex> G</tex> <tex> \exists</tex> <tex> v \in V</tex>, где v {{---}} [[Отношение связности, компоненты связности|точка сочленения]]. Пусть <tex>G_1,G_2</tex> {{---}} две компоненты связности полученный , полученные при удалении вершины <tex>v</tex>.Тогда, по выше доказанной лемме <tex>G_1,G_2</tex> эти компоненты можно правильно покрасить раскрасить в не более чем <tex>\Delta</tex> цветов.Поскольку количество соседей вершины <tex> v </tex> в каждой из компонент не более <tex> \Delta - 1</tex>, то <tex>G</tex> можно правильно раскрасить в не более чем <tex>\Delta</tex> цветов.##Если в графе <tex> G</tex> является вершинно двусвязным графом. Тогда, <tex> \exists</tex> <tex> v,u \in V :(u,v) \notin E</tex> и при удалении вершин <tex>v,u</tex> граф теряет связность .Пусть <tex>G_1,G_2</tex> {{---}} два подграфа <tex> G:(G_1 \cap G_2 = \{v,u\} ) \land (G_1 \cup G_2 = G)</tex>. Рассмотрим два случая:.### Если сумма степеней вершин <tex>u,v</tex> в одном каждом из подграфов <tex> G_1,G_2</tex> меньше <tex> deg\ u < 2(\Delta - 2 1)</tex> или . Тогда, в одном из данных подграфах <tex> \degu \ v < leqslant \Delta - 2 </tex> то, подграфы или <tex>G_1,G_2\deg v \leqslant \Delta - 2 </tex> . То есть, эти подграфы можно правильно раскрасить в не более чем <tex>\Delta</tex> цветов так, чтобы вершины <tex> u,v </tex> были бы разных цветов.А из этого следует , что, граф <tex>G</tex> тоже можно правильно раскрасить в не более чем <tex>\Delta</tex> цветов.### Если степени обоих сумма степеней вершин в одном из подграфов равны <tex> \Delta - 1u,v</tex> например в подграфе одном из подграфов <tex>G_1,G_2</tex>:##* равна <tex> G_1,G_2 2(\Delta-1)</tex> можно правильно раскрасить . Тогда, степени обеих вершин в одном из подграфов равны <tex>\Delta- 1</tex> цветов так, чтобы рассмотрим например, что в подграфе <tex>G_1</tex>:###* Если вершины <tex> u,v </tex> были бы разных цветов.Тогда очевидно, что оценка теоремы выполнена. ##* смежны с вершиной <tex>\exists p \in G_2: pu \in E \land pv \in E </tex>, тогда мы можем правильно раскрасить <tex>G_2</tex>, где степени вершин <tex>deg\ u = deg\ ,v = </tex> равны <tex>1</tex>, в не более чем <tex> \Delta </tex> цветов так, чтобы вершины <tex>u,v</tex> были одного цвета.Следовательно,можно покрасить граф <tex>G</tex> в не более чем <tex>\Delta</tex> цветов.###*[[Файл:Brooks_2.png‎|400px|thumb|Алгоритм раскраски. Третий случай, пятый шаг]]Если вершины <tex>u,v</tex> смежны с вершинами <tex>\exists u_1,v_1 \in G_2: uu_1 \in E \land vv_1 \in E \land u_1 \neq v_1 </tex>соответственно, тогда вместо вершин <tex>\{u,v\}</tex> рассмотрим вершины <tex>\{u,v_1\}</tex>.Заметим, что при удалении этих вершин граф потеряет связность и между ними нет ребра. При этом, сумма степеней новой пары вершин в каждой из компонент, полученных после их удаления,то есть меньше <tex>2(\Delta-1)</tex>. Поэтому, если для этой пары вершин можно провести рассуждения аналогичные тем , которые проводились для вершин <tex> v,u</tex>, прямым образом вытекаетполучится, что граф <tex> G</tex> можно правильно покрасить раскрасить в не более чем <tex>\Delta </tex> цветов.##Если вышеописанные случаи не подходят<tex>G</tex> является <tex>k</tex>-связным графом, где <tex>k > 2</tex>. Тогда, тогда рассмотрим <tex>w \in V : \deg\ w = \Delta</tex>. У вершины <tex>w</tex> должны существовать две соседние вершины <tex>u,v : uv \notin E </tex>, в противном случаи случае <tex>G = K_n</tex>.Пусть <tex>G_- = G - u - v </tex>. Заметим, что H <tex>G_-</tex> связный граф, запустим для <tex>G_-</tex> алгоритм обхода в ширину из вершины <tex>w</tex>. Пронумеруем вершины <tex>v_1,...,v_{n-2}</tex>, где <tex>v_i</tex> вершина рассмотренная на нем алгоритм <tex>i</tex>-ом шаге алгоритма bfs . Теперь пусть <tex> v_{n-1} = v</tex>, и <tex>v_n = u</tex>. Покрасим <tex>v_n,v_{n-1}</tex> в один цвет, далее начнем красить вершины в обратном порядке, начиная с <tex>v_{n-2}</tex> в один из <tex>\Delta</tex> цветов так, чтобы никакое ребро графа не соединяло вершины одного цвета. Заметим, что так всегда можно сделать, поскольку на <tex>i</tex>-ом шаге покраски, где <tex>i \neq n</tex>, для вершины <tex> v_{n - i+1}</tex> есть не более <tex>\Delta(G) - 1</tex> уже покрашенных соседей. Следовательно, вершину <tex> v_{n-i+1}</tex> можно покрасить по крайней мере в один из свободных цветов. Вершину <tex>w</tex> мы тоже сможем правильно раскрасить в один из <tex>\Delta</tex> цветов потому, что ее <tex>\Delta</tex> соседей покрашено в не более чем <tex>\Delta - 1</tex> цветов. Таким образом граф <tex> G</tex> можно правильно раскрасить в не более чем <tex>\Delta</tex> цветов.

== Источники См. также ==*[[Раскраска графа]]