Изменения

== Вспомогательная Лемма лемма ==

|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{- --}} произвольный [[Отношение связности, компоненты связности|связный ]] неориентированный граф и <tex>\Delta(G)</tex> {{- --}} максимальная степень вершин <tex>G</tex>. Если в таком графе существует вершина <tex>w</tex> степени <tex> \deg\ w < \Delta(G)</tex>, то <tex>\chi(G) \le leqslant \Delta(G)</tex>.

[[Файл:Brooks_1.png‎|400px|thumb|Алгоритм расскраски раскраски на 5ом пятом шаге]]Запустим алгоритм [[Обход в ширину|обхода в ширину]] из вершины <tex>w</tex>. Пронумеруем вершины <tex>v_1,...,v_n,</tex> где <tex>v_i</tex> вершина рассмотренная на <tex>i</tex>-ом шаге алгоритма bfs. Далее начнем красить вершины в обратном порядке в один из <tex>\Delta</tex> цветов так, чтобы никакое ребро графа не соединяло вершины одного цвета. На <tex> i</tex>-ом шаге покраски, для вершины <tex> v_{n - i+1}</tex> есть не более <tex>\Delta(G) - 1</tex> уже покрашенных соседей (т.к <tex> \deg(v_{n - i+1}) \le leqslant \Delta(G)</tex> и предок данной вершины в дереве bfs еще не покрашен, а если предка нет, то это вершина и есть <tex>w</tex>), следовательно вершину <tex> v_{n-i+1}</tex> можно покрасить по крайней мере в один из свободных цветов. Поскольку на каждом шаге алгоритм отработает корректно, следовательно граф можно правильно раскрасить в не более чем <tex> \Delta</tex> цветов, то есть <tex> \chi(G) \le leqslant \Delta(G)</tex>.

|statement=Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} связный неориентированный граф и <tex>G</tex> не является <tex>K_m</tex> или <tex>C_{2m+1}</tex>, ни для кого какого <tex> m</tex>, тогда <tex>\chi(G) \le leqslant \Delta(G)</tex>, где <tex>\Delta(G)</tex> {{- --}} максимальная степень вершин <tex>G</tex>

Для доказательства теоремы рассмотрим несколько случаев:#<tex>\Delta(G) \leqslant 2</tex>, тогда:#*Если <tex> \Delta = 0</tex>, <tex> G = K_1</tex>#*Если <tex> \Delta = 1</tex>, <tex> G = K_2</tex>#*Если <tex> \Delta = 2</tex>, то:#*# <tex> G </tex>{{---}} либо дерево либо четный цикл и тогда <tex> \chi(G) = 2</tex>#*#<tex> G</tex> нечетный циклПоэтому мы будем считать до конца доказательства, что #<tex> \Delta(G) \ge geqslant 3</tex>., тогда:##Если в <tex>G</tex> существует вершина не является вершинно двусвязным графом, тогда в графе <tex>vG</tex> степени <tex> deg\ v < \Delta(G)exists</tex>, то по выше доказанной лемме <tex> v \chi(G) \le \Delta(G)</tex>. То есть осталось рассмотреть случай, когда <tex>G</texin V</tex> {{---}} регулярный граф степени <tex>\Delta</tex>[[Отношение связности, компоненты связности|точка сочленения]]. #Если Пусть <tex>GG_1,G_2</tex> не является вершинно двусвязным графом{{---}} две компоненты связности, тогда в графе полученные при удалении вершины <tex> Gv</tex> <tex> . Тогда, по выше доказанной лемме эти компоненты можно правильно раскрасить в не более чем <tex>\existsDelta</tex> цветов. Поскольку количество соседей вершины <tex> v \in V</tex>, где v {{---}} точка сочленения. Пусть в каждой из компонент не более <tex>G_1,G_2\Delta - 1</tex> две компоненты связности полученный при удалении вершины <tex>v</tex>.Тогда, по выше доказанной лемме то <tex>G_1,G_2G</tex> можно правильно раскрасить в не более чем <tex>\Delta</tex> цветов.Поскольку количество соседей вершины ##Если <tex> v G</tex> в каждой из компонент не более является вершинно двусвязным графом. Тогда, <tex> \Delta - 1exists</tex>, то <tex>Gv,u \in V :(u,v) \notin E</tex> можно правильно раскрасить в не более чем <texи при удалении вершин <tex>\Deltav,u</tex> цветовграф теряет связность.#Если Пусть <tex>GG_1,G_2</tex> является вершинно двусвязным графом. Тогда, {{---}} два подграфа <tex> G:(G_1 \exists</tex> <tex> cap G_2 = \{v,u \in V :}) \land (u,vG_1 \cup G_2 = G) \notin E</tex> и при удалении . Рассмотрим два случая.### Если сумма степеней вершин <tex>u,v,u</tex> граф теряет связность .Пусть в каждом из подграфов <tex>G_1,G_2</tex> два подграфа меньше <tex> G:2(G_1 \cap G_2 = \{v,u\}) \land (G_1 \cup G_2 = GDelta-1)</tex>. Рассмотрим два случая:## Если Тогда, в одном из подграфов <tex> G_1,G_2</tex> данных подграфах <tex> \deg\ u \le leqslant \Delta - 2 </tex> или <tex> \deg\ v \le leqslant \Delta - 2 </tex> то. То есть, эти подграфы <tex>G_1,G_2</tex> можно правильно раскрасить в не более чем <tex>\Delta</tex> цветов так, чтобы вершины <tex> u,v </tex> были бы разных цветов.А из этого следует , что, граф <tex>G</tex> тоже можно правильно раскрасить в не более чем <tex>\Delta</tex> цветов.### Если степени обоих сумма степеней вершин в одном из подграфов равны <tex> \Delta - 1u,v</tex> например в подграфе одном из подграфов <tex>G_1,G_2</tex>:##* равна <tex> G_1,G_2 2(\Delta-1)</tex> можно правильно раскрасить . Тогда, степени обеих вершин в не более чем одном из подграфов равны <tex>\Delta- 1</tex> цветов так, чтобы вершины рассмотрим например, что в подграфе <tex> u,v G_1</tex> были бы разных цветов.Тогда очевидно, что оценка теоремы выполнена. :###* Если вершины <tex>u,v</tex> смежны с вершиной <tex>\exists p \in G_2: (pu \in E) \land (pv \in E) </tex>, тогда мы можем правильно раскрасить <tex>G_2</tex>, где степени вершин <tex>deg\ u = deg\ ,v = 1</tex>, равны <tex>1</tex>, в не более чем <tex> \Delta </tex> цветов так, чтобы вершины <tex>u,v</tex> были одного цвета.Следовательно,можно покрасить граф <tex>G</tex> в не более чем <tex>\Delta</tex> цветов.###*<tex>\exists u_1,v_1 \in G_2[[Файл: (uu_1 \in E) \land (vv_1 \in E) \land (Brooks_2.png‎|400px|thumb|Алгоритм раскраски. Третий случай, пятый шаг]]Если вершины <tex>u,v</tex> смежны с вершинами <tex>u_1 ,v_1 \neq v_1) in G_2</tex>соответственно, тогда вместо вершин <tex>\{u,v\}</tex> рассмотрим вершины <tex>\{u,v_1\}</tex>.Заметим, что при удалении этих вершин граф потеряет связность и между ними нет ребра. При этом,то есть для этой сумма степеней новой пары вершин можно провести рассуждения аналогичные тем которые проводились для вершин в каждой из компонент, полученных после их удаления, меньше <tex> v,u2(\Delta-1)</tex>.Из чегоПоэтому, прямым образом вытекаетесли для этой пары вершин провести рассуждения аналогичные тем, которые проводились для вершин <tex> v,u</tex>, получится, что граф <tex> G</tex> можно правильно раскрасить в не более чем не более чем <<tex>\Delta </tex> цветов.#[[Файл:Brooks_2.png‎|400px|thumb|Алгоритм расскраски для 3-его случая на 5ом шаге]]#Если вышеописанные случаи не подходят, то граф <<tex>G</tex> является <tex>k</tex>-связнымграфом, где <tex>k > 2</tex>. Тогда, рассмотрим <tex>w \in V : \deg\ w = \Delta</tex>. У вершины <tex>w</tex> должны существовать две соседние вершины <tex>u,v : uv \notin E </tex>, в противном случаи случае <tex>G = K_n</tex>.Пусть <tex>G_- = G - u - v </tex>. Заметим, что <tex>G_-</tex> связный граф, запустим для <tex>G_-</tex> алгоритм обхода в ширину из вершины <tex>w</tex>. Пронумеруем вершины <tex>v_1,...,v_{n-2},</tex> , где <tex>v_i</tex> вершина рассмотренная на <tex>i</tex>-ом шаге алгоритма bfs.Теперь пусть <tex> v_{n-1} = v</tex>,и <tex>v_n = u</tex>. Покрасим <tex>v_n,v_{n-1}</tex> в один цвет, далее начнем красить вершины в обратном порядке , начиная с <tex>v_{n-2}</tex> в один из <tex>\Delta</tex> цветов так, чтобы никакое ребро графа не соединяло вершины одного цвета.Заметим, что так всегда можно сделать, поскольку на <tex> i</tex>-ом шаге покраски,где <tex>i \neq n</tex>, для вершины <tex> v_{n - i+1}</tex> есть не более <tex>\Delta(G) - 1</tex> уже покрашенных соседей/tex> есть не более <tex>\Delta(G) - 1</tex> уже покрашенных соседей. Следовательно, следовательно вершину <tex> v_{n-i+1}</tex> можно покрасить по крайней мере в один из свободных цветов.Вершину <tex>w</tex>,мы тоже сможем правильно раскрасить в один из <tex>\Delta</tex> цветов потому, что ее <tex>\Delta</tex> соседей покрашено в не более чем <tex>\Delta - 1</tex> цветов. Таким образом граф <tex> G</tex> можно правильно раскрасить в не более чем не более чем <tex>\Delta</tex> цветов.

== Источники См. также == * [http://myweb.facstaff.wwu.edu/sarkara/brooks.pdf Доказательство на английском[Раскраска графа]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Brooks'_theorem Теорема Брукса на вики]