Теорема Вагнера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 16: Строка 16:
 
Доказательство первой части <br/>  
 
Доказательство первой части <br/>  
 
Если в G существует минор содержащий <tex> K_{3, 3} </tex>,значит существуют множества вершин <tex> U_{1} </tex>,<tex> U_{2} </tex>,<tex> U_{3} </tex>,<tex> W_{1} </tex>,<tex> W_{2} </tex>,<tex> W_{3} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для каждого i и j существует <tex> {u_{i, j} \in U_{i}} </tex> и <tex> {w_{i, j} \in W_{j}} </tex>, такие что (<tex> {u_{i,j}} </tex>,<tex> {w_{i,j}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого i существует поддерево в G с тремя листами как минимум, по одиному лист в каждом <tex> W_{j} </tex>, и с его другими вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>. Ситуация с j симметрична. <br/>
 
Если в G существует минор содержащий <tex> K_{3, 3} </tex>,значит существуют множества вершин <tex> U_{1} </tex>,<tex> U_{2} </tex>,<tex> U_{3} </tex>,<tex> W_{1} </tex>,<tex> W_{2} </tex>,<tex> W_{3} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для каждого i и j существует <tex> {u_{i, j} \in U_{i}} </tex> и <tex> {w_{i, j} \in W_{j}} </tex>, такие что (<tex> {u_{i,j}} </tex>,<tex> {w_{i,j}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого i существует поддерево в G с тремя листами как минимум, по одиному лист в каждом <tex> W_{j} </tex>, и с его другими вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>. Ситуация с j симметрична. <br/>
В следствие леммы о рукопожатиях дерево с тремя вершинами гомеоморфно <tex> K_{1, 3} </tex>. Таким образом, в G существует подграф гомеоморфный шести копиям <tex> K_{1, 3} </tex> соедененные три на три, т.е. получаем <tex> K_{3, 3} </tex>.  
+
В следствие леммы о рукопожатиях дерево с тремя вершинами гомеоморфно <tex> K_{1, 3} </tex>. Таким образом, в G существует подграф гомеоморфный шести копиям <tex> K_{1, 3} </tex> соедененные три на три, т.е. получаем <tex> K_{3, 3} </tex>. <br/>
 
Доказательство второй части <br/>
 
Доказательство второй части <br/>
 
Если в G существует минор содержащий <tex> K_{5} </tex>,значит существуют вершины <tex> U_{1} </tex>...<tex> U_{5} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для всех <tex> {i \ne j} </tex> существует <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} </tex> и <tex> {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} </tex>, такие что ( <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого i существует поддерево <tex> T_{i} </tex> в G с четырьмя листьями, по одному листу в каждом <tex> U_{j} </tex> (<tex> {i \ne j} </tex>) и с остальными вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>. <br/>
 
Если в G существует минор содержащий <tex> K_{5} </tex>,значит существуют вершины <tex> U_{1} </tex>...<tex> U_{5} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для всех <tex> {i \ne j} </tex> существует <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} </tex> и <tex> {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} </tex>, такие что ( <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого i существует поддерево <tex> T_{i} </tex> в G с четырьмя листьями, по одному листу в каждом <tex> U_{j} </tex> (<tex> {i \ne j} </tex>) и с остальными вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>. <br/>

Версия 17:15, 18 ноября 2016

Определение:
Минором графа (англ. Graph minor) G будем называть граф H, если H может быть образован из G удалением рёбер и вершин и стягивания рёбер.


Теорема:
Граф планарен тогда и только тогда, когда его миноры не содержат ни [math] K_{5} [/math] ни [math] K_{3, 3} [/math] .
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Иначе говоря в соответствии с теоремой Понтрягина-Куратовского, теорему можно переформулировать: "В графе G есть миноры содержащие [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math] тогда и только тогда, когда существует подграф гомеоморфный [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math]"

Разделим доказательство на две части

  1. Если в G существует минор содержащий [math] K_{3, 3} [/math], тогда в G существует подграф гомеоморфный [math] K_{3, 3} [/math].
  2. Если в G существует минор содержащий [math] K_{5} [/math], тогда в G существует подграф гомеоморфный либо [math] K_{3, 3} [/math] , либо [math] K_{5} [/math].

Доказательство первой части
Если в G существует минор содержащий [math] K_{3, 3} [/math],значит существуют множества вершин [math] U_{1} [/math],[math] U_{2} [/math],[math] U_{3} [/math],[math] W_{1} [/math],[math] W_{2} [/math],[math] W_{3} [/math] попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для каждого i и j существует [math] {u_{i, j} \in U_{i}} [/math] и [math] {w_{i, j} \in W_{j}} [/math], такие что ([math] {u_{i,j}} [/math],[math] {w_{i,j}} [/math]) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого i существует поддерево в G с тремя листами как минимум, по одиному лист в каждом [math] W_{j} [/math], и с его другими вершинами внутри [math] U_{i} [/math]. Ситуация с j симметрична.
В следствие леммы о рукопожатиях дерево с тремя вершинами гомеоморфно [math] K_{1, 3} [/math]. Таким образом, в G существует подграф гомеоморфный шести копиям [math] K_{1, 3} [/math] соедененные три на три, т.е. получаем [math] K_{3, 3} [/math].
Доказательство второй части
Если в G существует минор содержащий [math] K_{5} [/math],значит существуют вершины [math] U_{1} [/math]...[math] U_{5} [/math] попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для всех [math] {i \ne j} [/math] существует [math] {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} [/math] и [math] {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} [/math], такие что ( [math] {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} [/math]) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого i существует поддерево [math] T_{i} [/math] в G с четырьмя листьями, по одному листу в каждом [math] U_{j} [/math] ([math] {i \ne j} [/math]) и с остальными вершинами внутри [math] U_{i} [/math].
В следствие леммы о рукопожатиях дерево с четырьмя вершинами гомеоморфно либо [math] K_{1, 4} [/math] либо двум связным копиям [math] K_{1, 3} [/math]. Значит в G есть подграф гомеоморфный пяти копиям [math] K_{1, 4} [/math], соедененные друг с другом. Т.е. получаем [math] K_{5} [/math]. В противном случае подграф гомеоморфный [math] K_{3, 3} [/math] может быть получен с помощью следущих процедур:

  1. Берем одну из [math] T_{i} [/math] гочеоморфную двум соедененным копиям [math] K_{1, 3} [/math]. Назовем их [math] T_{i, r} [/math] и [math] T_{i, b} [/math].
  2. Покрасим в красный вершины [math] T_{i, r} [/math], за исключением двух вершин которые будут окрашены в синий.
  3. Покрасим в синий вершины [math] T_{i, b} [/math], за исключением двух вершин которые окрашены в красный.
  4. Покрасим в синий вершины [math] T_{j} [/math], которые включают в себя [math] T_{i, r} [/math].
  5. Покрасим в красный вершины [math] T_{j} [/math], которые включают в себя [math] T_{i, b} [/math].
  6. Удалим ребра соединяющие одноцветные вершины из разных [math] T_{j} [/math].

Такое "обрезание" привидет к тому что [math] T_{j} [/math] будут иметь по три вершины, каждая содержится в таком подграфе, что она окрашено в другой цвет чем остальные вершины. Граф

сформированный из красных и синих вершин вместе с оставшимися ребрами изоморфен [math] K_{3, 3} [/math].
[math]\triangleleft[/math]