Теорема Вагнера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 +
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 +
|+
 +
|-align="center"
 +
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|
 +
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 +
 +
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 +
 +
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 +
 +
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 +
 +
''Антивоенный комитет России''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 +
|}
 +
 
Вагнер опубликовал теорему в 1937, после публикации в 1930 [[Теорема_Понтрягина-Куратовского|теоремы Куратовского]], согласно которой граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов [[Укладка_графа_на_плоскости|гомеоморфных]] <tex> K_{5} </tex> и <tex> K_{3, 3} </tex>. [[Теорема_Понтрягина-Куратовского|Теорема Куратовского]] сильнее теоремы Вагнера — [[Укладка_графа_на_плоскости|гомеоморфный]] подграф может быть преобразован в минор того же типа путём стягивания всех, кроме одного, рёбер в каждом пути, полученном при разбиении ребра путем добавления вершины, а вот обратное преобразование из минора в [[Укладка_графа_на_плоскости|гомеоморфный]] подграф того же типа не всегда возможно.  
 
Вагнер опубликовал теорему в 1937, после публикации в 1930 [[Теорема_Понтрягина-Куратовского|теоремы Куратовского]], согласно которой граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов [[Укладка_графа_на_плоскости|гомеоморфных]] <tex> K_{5} </tex> и <tex> K_{3, 3} </tex>. [[Теорема_Понтрягина-Куратовского|Теорема Куратовского]] сильнее теоремы Вагнера — [[Укладка_графа_на_плоскости|гомеоморфный]] подграф может быть преобразован в минор того же типа путём стягивания всех, кроме одного, рёбер в каждом пути, полученном при разбиении ребра путем добавления вершины, а вот обратное преобразование из минора в [[Укладка_графа_на_плоскости|гомеоморфный]] подграф того же типа не всегда возможно.  
 
__TOC__
 
__TOC__

Версия 09:16, 1 сентября 2022

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.

Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.

Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.

Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.

Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

Вагнер опубликовал теорему в 1937, после публикации в 1930 теоремы Куратовского, согласно которой граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов гомеоморфных [math] K_{5} [/math] и [math] K_{3, 3} [/math]. Теорема Куратовского сильнее теоремы Вагнера — гомеоморфный подграф может быть преобразован в минор того же типа путём стягивания всех, кроме одного, рёбер в каждом пути, полученном при разбиении ребра путем добавления вершины, а вот обратное преобразование из минора в гомеоморфный подграф того же типа не всегда возможно.


Определение:
Минором графа (англ. Graph minor) [math]G[/math] будем называть граф [math]H[/math], если [math]H[/math] может быть образован из [math]G[/math] удалением рёбер и вершин или стягиванием рёбер.


Миноры графов часто изучаются в более общем контексте миноров графовых матроидов. В этом контексте обычно полагается, что графы связны, могут иметь петли и кратные рёбра (то есть, рассматриваются псевдографы, а не простые графы). Стягивание петли и удаление разрезающего ребра запрещены. При таком подходе удаление ребра оставляет ранг графа неизменным, а стягивание ребра всегда уменьшает ранг на единицу.

Пример

В следующем примере граф [math]H[/math] является минором графа [math]G[/math]:

[math]G[/math] Olddddd.png

[math]H[/math]Olllddd.png

Теорема

Теорема:
Граф планарен тогда и только тогда, когда его миноры не содержат ни [math] K_{5} [/math] ни [math] K_{3, 3} [/math] .
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Иначе говоря в соответствии с теоремой Понтрягина-Куратовского, теорему можно переформулировать: « В графе [math]G[/math] есть миноры содержащие [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math] тогда и только тогда, когда существует подграф гомеоморфный [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math] »

[math]\Rightarrow[/math]

Разделим доказательство на две части

  1. Если в [math]G[/math] существует минор содержащий [math] K_{3, 3} [/math], тогда в [math]G[/math] существует подграф гомеоморфный [math] K_{3, 3} [/math].
  2. Если в [math]G[/math] существует минор содержащий [math] K_{5} [/math], тогда в [math]G[/math] существует подграф гомеоморфный либо [math] K_{3, 3} [/math] , либо [math] K_{5} [/math].
Доказательство первой части

В силу определения минора, если в [math]G[/math] существует минор содержащий [math] K_{3, 3} [/math],значит существуют множества вершин [math] U_{1} [/math], [math] U_{2} [/math], [math] U_{3} [/math], [math] W_{1} [/math], [math] W_{2} [/math], [math] W_{3} [/math] попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф [math]G[/math], такие что для каждого [math]i[/math] и [math]j[/math] существует [math] {u_{i, j} \in U_{i}} [/math] и [math] {w_{i, j} \in W_{j}} [/math] и [math]({u_{i,j}} [/math],[math] {w_{i,j}})[/math] принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого [math]i[/math] существует поддерево в [math]G[/math] , у которого три листа [math]w_{1} \in W_{1}[/math], [math]w_{2} \in W_{2}[/math], [math]w_{3} \in W_{3}[/math], а все остальные вершины подграфа принадлежат [math] U_{i} [/math]. Ситуация с [math]j[/math] симметрична.
Вследствие леммы о рукопожатиях дерево с тремя вершинами гомеоморфно [math] K_{1, 3} [/math]. Таким образом, в [math]G[/math] существует подграф гомеоморфный шести копиям [math] K_{1, 3} [/math] соединенные три на три, т.е. получаем [math] K_{3, 3} [/math].

Доказательство второй части

В силу определения минора, если в [math]G[/math] существует минор содержащий [math] K_{5} [/math],значит существуют множества вершин [math] U_{1} \ldots U_{5} [/math] попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф [math]G[/math], такие что для всех [math] {i \ne j} [/math] существует [math] {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} [/math] и [math] {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} [/math], такие что ( [math] {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} [/math]) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого [math]i[/math] существует поддерево [math] T_{i} [/math] в [math]G[/math] с четырьмя листьями, по одному листу в каждом [math] U_{j} [/math] [math]({i \ne j}) [/math] и с остальными вершинами внутри [math] U_{i} [/math].
Вследствие леммы о рукопожатиях дерево с четырьмя вершинами гомеоморфно либо [math] K_{1, 4} [/math], либо двум связным копиям [math] K_{1, 3} [/math]. Значит в [math]G[/math] есть подграф гомеоморфный пяти копиям [math] K_{1, 4} [/math], соединенные друг с другом. Т.е. получаем [math] K_{5} [/math]. В противном случае подграф гомеоморфный [math] K_{3, 3} [/math] может быть получен с помощью следующих процедур:

  1. Берем одну из [math] T_{i} [/math] гомеоморфную двум соединенным копиям [math] K_{1, 3} [/math]. Назовем их [math] T_{i, r} [/math] и [math] T_{i, b} [/math].
  2. Покрасим в красный вершины [math] T_{i, r} [/math], за исключением двух вершин которые будут окрашены в синий.
  3. Покрасим в синий вершины [math] T_{i, b} [/math], за исключением двух вершин которые окрашены в красный.
  4. Покрасим в синий вершины [math] T_{j} [/math], которые включают в себя [math] T_{i, r} [/math].
  5. Покрасим в красный вершины [math] T_{j} [/math], которые включают в себя [math] T_{i, b} [/math].
  6. Удалим ребра соединяющие одноцветные вершины из разных [math] T_{j} [/math].

Такое «обрезание» приведет к тому что [math] T_{j} [/math] будут иметь по три вершины, каждая содержится в таком подграфе, что она окрашено в другой цвет чем остальные вершины. Граф сформированный из красных и синих вершин вместе с оставшимися ребрами изоморфен [math] K_{3, 3} [/math].

[math]\Leftarrow[/math]

Пусть существует подграф гомеоморфный [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math]. В силу гомеоморфизма, заметим, что данные подграфы можно получить только путем стягивания ребер между вершинами такими, что хотя бы одна их них должна иметь степень [math]2[/math]. Удалим все ребра и вершины графа, которые не входят в этот подграф. Таким образом, мы получили минор содержащий [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math] соответственно.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Graph minor — Wikipedia
  • Geir Agnarsson, Raymond Greenlaw. Graph Theory: Modeling, Applications and Algorithms, 2006 — глава 7.5 стр. 210