Изменения

'''Порождённый подграфБонд''' (англ. ''induced subgraphbond'') графа {{---}} подграфэто минимальный (по включению) непустой [[Разрез, порождённый множеством рёбер исходного _лемма_о_потоке_через_разрез | разрез графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же ребрами, как в графе]] <tex>G</tex>.

'''Разрез графаМинимальный (по включению)''' {{---}} множество рёбер <tex>E(V_1, V_2англ. ''minimal by inclusion'')</tex> (все рёбра между <tex>V_1</tex> и <tex>V_2</tex>) для произвольного разбиения разрез графа <tex>V(G)</tex> на два непересекающихся множества вершин, то есть порожденных подграфа <tex>V_1</tex> и <tex>V_2</tex>.}} {{Определение|definition='''Бонд графа''' {{---}} это минимальный (по включению) непустой разрез графа <tex>G</tex>, из которого нельзя выделить разрезы с меньшим количеством ребер.

<tex>\Rightarrow</tex>. Пусть <tex>E</tex> {{- --}} бонд. Докажем, что для любого ребра <tex>e \in E</tex> граф <tex>G - E + e</tex> связен. Действительно, пусть этот граф несвязен и имеет, скажем, компоненты связности <tex>U_1</tex> и <tex>U_2</tex>. Тогда <tex>E \supsetneq E(U_1, U_2)</tex>, а из связности графа <tex>G</tex> следует, что <tex>E(U_1, U_2) \neq \varnothing</tex>. Противоречие с минимальностью <tex>E</tex>. Так как для любого ребра <tex>e \in E = E(V_1, V_2)</tex> граф <tex>G − E + e</tex> связен,оба графа <tex>G(V_1)</tex> и <tex>G(V_2)</tex> связны.

Теперь докажем, что подграфы <tex>G(V_1) \text{ и } G(V_2)</tex> связны. Рассмотрим отдельно подграф <tex>G(V_1)</tex>, если он не связный, то имеет как минимум <tex>2</tex> компоненты связности, назовем их <tex>O_1 \text{ и } O_2</tex>.  <tex>e \in E </tex> можно также представить как <tex>e = (u, v) \text{ при этом } u \in G(V_1), v \in G(V_2)</tex>, то есть <tex>u \in O_1 \mid u \in O_2</tex>, и граф <tex> G - E + e </tex> состоит из <tex>2</tex> компонент {{---}} <tex>(O_1 \cup G(V_2), O_2) \mid (O_2 \cup G(V_2), O_1)</tex>, что противоречит условию связности. Так же доказывается связность <tex>G(V_2)</tex>. <tex>\Leftarrow</tex>. Если оба графа <tex>G(V_1)</tex> и <tex>G(V_2)</tex> — связны, то добавление любого ребра из <tex>E</tex> даст нам связный подграф графа <tex>G</tex>, содержащий все его вершины. Значит, в этом случае разрез <tex>E</tex> минимален по включению. В силу связности <tex>G</tex> этот разрез непуст, то есть, является бондом.

Подграфы <tex>V_1</tex> и <tex>V_2</tex> из предыдущей леммы называются '''торцевыми графами'''(англ. ''end graph'').

Также стоит отметить, что если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты, а всякий перешеек [[Мост,_эквивалентные_определения | мост]] графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка моста являются торцевыми графами соответствующего бонда.

Посчитаем <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} </tex>, то есть количество всех исходящих ребер из <tex>X</tex>. По [[Лемма_о_рукопожатиях | лемме о рукопожатиях]] внутри ребер, с обоих сторон прикрепленных к <tex>X</tex> их , будет <tex>2|E(X)|</tex>. Количество ребер, но мы не посчитали ребра прикрепленные прикрепленных и к <tex>X</tex>, и к <tex>Y</tex>. Количество таких ребер, по определению бонда {{---}} количество ребер в бонде <tex>H</tex>, то есть <tex>|E(H)|</tex>. Отсюда:

Поэтому:<center> Вычитаем дважды из формулы <tex> \textbf{(3)} - 2 \times </tex> формулу <tex>\textbf{(2)} = </tex> и получаем:<center> <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>Аналогичную формулу получаем Полученная формула в правой части не зависит от подграфа, поэтому вычитая вариант для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из <tex>\textbf{(4)}</tex>, приходим к <tex>\textbf{(1)}</tex>.

 * Сам Гринберг использовал свою теорему для того, чтобы искать негамильтоновы кубические(все вершины имеют степень <tex>3</tex>) полиэдральные графы<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%8D%D0%B4%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 полиэдральные графыВикипедия {{---}} Полиэдральный граф] </ref> с высокой циклической реберной связностью.* Теорема Гринберга Циклическая рёберная связность графа {{--- необходимое условие для планарного графа}} это наименьшее число рёбер, которое можно удалить так, чтобы оставшийся граф содержал гамильтонов циклболее чем одну циклическую компоненту. Например он нашел граф с <tex>46</tex> вершинами, <tex>25</tex> гранями и циклической рёберной связностью пять, основанное а длинах циклов гранейпоказанный на рисунке <tex>1</tex>. {|align="center" |[[Файл: Гамильтонов граф.png|300px|center|thumb|Рис. 1]]* Теорема Гринберга используется также для поиска планарных гипогамильтоноввых графов путём построения графа, в котором все грани имеют число рёбер, сравнимых с |[[Файл: Новый гамильтонов_бонд.png|500x300px|thumb|Рис. 2 по модулю 3.]] |} * Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют степени, сравнимые с <tex>2 </tex> по модулю <tex>3</tex>. Тогда левая часть формулы '''<tex>\textbf{(1)''' }</tex> не делится на <tex>3 </tex> и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' <tex>2</tex> иллюстрирует этот простой пример.* Чтобы планарный граф существовал и содержал гамильтонов цикл, необходимо выполнение теоремы Гринберга.<ref>Grinberg, È. Ja. (1968), "Plane homogeneous graphs of degree three without Hamiltonian circuits", Latvian Math. Yearbook 4 (in Russian), Riga: Izdat. “Zinatne”, pp. 51–58, MR 0238732. English translation by Dainis Zeps, [https://arxiv.org/abs/0908.2563v1 arXiv:0908.2563.]</ref>* Теорема Гринберга используется также для поиска планарных гипогамильтоновых графов<ref>[Файлhttps: Новый гамильтонов_бонд//ru.png|300px|thumb|center|Рисwikipedia. 1]org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия {{---}} Гипогамильтонов граф]</ref> путём построения графа, в котором все грани имеют число рёбер, сравнимых с <tex>2</tex> по модулю <tex>3</tex>.