Теорема Джексона — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «Не трогать --~~~~ {{В разработке}}»)
 
(фух)
Строка 1: Строка 1:
 
Не трогать --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 18:53, 24 июня 2012 (GST)
 
Не трогать --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 18:53, 24 июня 2012 (GST)
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
 +
Ранее нами введено приближение в C:
 +
 +
E_n(f)_C = E_n(f) = \inf \| f - T \|_C, T \in H_n.
 +
 +
Наилучшее приближение:
 +
 +
\exists T_n(f)_C = T_n(f): E_n(f) = \| f - T_n(f) \|_C — полином наилучшего приближения.
 +
 +
E_n(f) — полунорма, \forall T \in H_n, E_n(T) = 0. E_n(f) = E_n(f + T)
 +
 +
\omega(f, h)_C — модуль непрерывности функции = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h|} |f(x_2) - f(x_1)|
 +
 +
E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0.
 +
 +
Группу теорем, которая позволяет судить о скорости стремления наилучшего приближения к нулю называют «прямыми теоремами теории аппроксимации функций (конструктивной теории функций)». Одной из характеристик, которой описывают структурные свойства фунции, является [[модуль непрерывности]].
 +
 +
Чтобы судить о E_n(f), надо строить приближение функции в виде полинома таким образом, чтобы уметь оценивать его отклонение от самой функции в терминах модуля непрерывности. Тогда само отклонение будет не меньше модуля непрерывности, и само приближение будет оценено через него.
 +
 +
Типичный прием — интегрирование свертки с тригонометрическим ядром.
 +
 +
s_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) D_n(t) dt
 +
 +
\sigma_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t) dt
 +
 +
Получающиеся интегралы являются тригонометрическими полиномами.
 +
 +
A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt, J_n — тригонометрический полином. Заменим y = x + t.
 +
 +
A(f, x) = \int\limits_Q f(y) J_n(y - x) dy
 +
 +
J_n(y - x) = T(x) — тригонометрический полином по x, коэффициенты которого зависят от y.
 +
 +
A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt.
 +
 +
\int\limits_Q J_n(t) = 1, J_n(t) \ge 0.
 +
 +
|f(x) - A(f, x)| \le \int\limits_Q |f(x + t) - f(x)| |J_n(t)| dt
 +
 +
|f(x) - A(f, x)| \le \int\limits_Q |f(x + t) - f(x)| J_n(t) dt \le \int\limits_Q \omega(f, |t|) J_n(t) dt \le \int\limits_Q \omega^*(f, |t|) J_n(t) dt \le (применим [[неравенство Йенсена]] для выпуклых функций) \le \omega^*(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) \le 2 \omega(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt)
 +
 +
f — непрерывная, 2 \pi - периодическая функция.
 +
 +
\| f - A(f) \|_C \le 2 \sigma (f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt)  \int\limits_Q |t| J_n(t) dt называется первым, абсолютным моментом ядра.
 +
 +
Из этого неравенства видно, что суть получения основных теорем состоит в том, чтобы удачно подобрать усредняющее ядро, чтобы \omega \to 0 при n \to \infty.
 +
 +
Одним из этих ядер является ядро Джексона.
 +
 +
<tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>
 +
 +
d_n(t) \in H_{2n-2} — тригонометрический полином
 +
 +
\int\limits_Q d_n(t) = 1
 +
 +
Докажем, что \int\limits_0^{2 \pi} t d_n(t) \le \frac{3}{4} \frac{1}{n} — установим этот факт:
 +
 +
\int\limits_0^{2 \pi} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi}
 +
 +
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 dt \le
 +
 +
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{n^4}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} dt = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)^2 \frac{n^3}{2 \pi (2n^2 + 1)} \le a \frac{1}{n}
 +
 +
\int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} t \frac{\pi^4}{t^4} \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 +1)} dt = \frac{1}{2} \frac{1}{2 \pi n (2n^2 +1)} \left( \frac{4 n^2}{\pi^2} - \frac{1}{\pi^2} \left) \le b \frac{1}{n}. Неравенство установили.
 +
 +
== Теорема Джексона ==
 +
 +
{{Теорема
 +
|author=
 +
Джексон
 +
|statement=
 +
f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1})
 +
|proof=
 +
Y(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) d_n(t) dt — интеграл Джексона
 +
 +
Y_n(f) \in H_{2n - 2}
 +
 +
E_{2n - 2} (f) \le \| f - Y_n(f) \| \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| d_n(t) dt) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n})
 +
 +
E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) — четные
 +
 +
E_{2n - 1} (f) \le E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) — нечетные
 +
 +
\frac{3 \pi}{m + 1} = \frac{3 \pi}{(2n - 2) + 1} = \frac{3 \pi}{2n - 1} > \frac{3 \pi}{2 n}, m = 2n - 2
 +
 +
\frac{3 \pi}{m + 1} = \frac{3 \pi}{2 n}, m = 2n - 1
 +
 +
Приходим к требуемому неравенству соединяя эти два, что и требовалось
 +
}}
 +
 +
== Следствия ==
 +
 +
f \in C^1 — непрерывная, дифференциируемая
 +
 +
|f(x + t) - f(x)| = |f'(x + \theta t)| |t|, |f'(x + \theta t)| \le \| f' \|_C
 +
 +
\omega(f, h) \le \| f' \|_C h
 +
 +
\omega(f, \frac{3 \pi}{n + 1}) \le \| f' \|_C \frac{3 \pi}{n + 1}
 +
 +
Следствие:
 +
 +
f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \| f' \|_C \frac{6 \pi}{n + 1}
 +
 +
f \in C^{(p)}
 +
 +
E_n(f) = E_n(f + T), T \in H_n
 +
 +
Рассмотрим T_n(f'). Как и при почленном интегрировании рядов Фурье если из него вычесть его нулевой коэффициент Фурье и написать интеграл от 0 до x, мы получим тригонометрический полином.
 +
 +
\int\limits_0^x (T_n(f', t) - \frac{1}{2} a_0 (T_n(f'))) dt \in H_n
 +
 +
Подставим это в предыдущее равенство вместо T:
 +
 +
E_n(f) = E_n(f - \int\limits_0^x T_n(f', t) - \frac12 a_0(T_n(f')) dt) \le \frac{6 \pi}{n + 1} \| g' \| = \frac{6 \pi}{n + 1} \| f' - T_n(f') + \frac12 a_0(T_n(f'))) \| \le \frac{6 \pi}{n + 1} ( \| f' - T_n(f') \| + \frac12 | a_0(T_n (f'))|)
 +
 +
\frac12 a_0(T_n(f')) \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q T_n (f', x) dx
 +
 +
f' — 2 \pi-периодична \Rightarrow \int\limits_Q f' = f(\pi) - f(-\pi) = 0
 +
 +
\frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x))dx
 +
 +
|\frac12 a_0(T_n(f'))| \le \| T_n(f') - f'\| = E_n(f')
 +
 +
Утверждение:
 +
 +
f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f')
 +
 +
p = 1: E_n(f) \le \| f' \| \frac{6 \pi}{n + 1}
 +
 +
p = 2: E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') \le 2 (\frac{6 \pi}{n+1})^2 \| f'' \|_C
 +
 +
По индукции приходим к:
 +
 +
f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p — const.
 +
 +
То есть чем больше дифференциируемая(гладкая) функция, тем быстрее наилучшее приближение стремится к нулю.
 +
 +
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%B4%D1%80%D0%BE_%D0%94%D0%B6%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Википедия — Ядро Джексона]

Версия 19:15, 24 июня 2012

Не трогать --Дмитрий Герасимов 18:53, 24 июня 2012 (GST)

Эта статья находится в разработке!

Ранее нами введено приближение в C:

E_n(f)_C = E_n(f) = \inf \| f - T \|_C, T \in H_n.

Наилучшее приближение:

\exists T_n(f)_C = T_n(f): E_n(f) = \| f - T_n(f) \|_C — полином наилучшего приближения.

E_n(f) — полунорма, \forall T \in H_n, E_n(T) = 0. E_n(f) = E_n(f + T)

\omega(f, h)_C — модуль непрерывности функции = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h|} |f(x_2) - f(x_1)|

E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0.

Группу теорем, которая позволяет судить о скорости стремления наилучшего приближения к нулю называют «прямыми теоремами теории аппроксимации функций (конструктивной теории функций)». Одной из характеристик, которой описывают структурные свойства фунции, является модуль непрерывности.

Чтобы судить о E_n(f), надо строить приближение функции в виде полинома таким образом, чтобы уметь оценивать его отклонение от самой функции в терминах модуля непрерывности. Тогда само отклонение будет не меньше модуля непрерывности, и само приближение будет оценено через него.

Типичный прием — интегрирование свертки с тригонометрическим ядром.

s_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) D_n(t) dt

\sigma_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t) dt

Получающиеся интегралы являются тригонометрическими полиномами.

A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt, J_n — тригонометрический полином. Заменим y = x + t.

A(f, x) = \int\limits_Q f(y) J_n(y - x) dy

J_n(y - x) = T(x) — тригонометрический полином по x, коэффициенты которого зависят от y.

A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt.

\int\limits_Q J_n(t) = 1, J_n(t) \ge 0.

|f(x) - A(f, x)| \le \int\limits_Q |f(x + t) - f(x)| |J_n(t)| dt

|f(x) - A(f, x)| \le \int\limits_Q |f(x + t) - f(x)| J_n(t) dt \le \int\limits_Q \omega(f, |t|) J_n(t) dt \le \int\limits_Q \omega^*(f, |t|) J_n(t) dt \le (применим неравенство Йенсена для выпуклых функций) \le \omega^*(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) \le 2 \omega(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt)

f — непрерывная, 2 \pi - периодическая функция.

\| f - A(f) \|_C \le 2 \sigma (f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) \int\limits_Q |t| J_n(t) dt называется первым, абсолютным моментом ядра.

Из этого неравенства видно, что суть получения основных теорем состоит в том, чтобы удачно подобрать усредняющее ядро, чтобы \omega \to 0 при n \to \infty.

Одним из этих ядер является ядро Джексона.

[math] d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 [/math]

d_n(t) \in H_{2n-2} — тригонометрический полином

\int\limits_Q d_n(t) = 1

Докажем, что \int\limits_0^{2 \pi} t d_n(t) \le \frac{3}{4} \frac{1}{n} — установим этот факт:

\int\limits_0^{2 \pi} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi}

\int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 dt \le

\int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{n^4}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} dt = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)^2 \frac{n^3}{2 \pi (2n^2 + 1)} \le a \frac{1}{n}

\int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} t \frac{\pi^4}{t^4} \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 +1)} dt = \frac{1}{2} \frac{1}{2 \pi n (2n^2 +1)} \left( \frac{4 n^2}{\pi^2} - \frac{1}{\pi^2} \left) \le b \frac{1}{n}. Неравенство установили.

Теорема Джексона

Теорема (Джексон):
f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1})
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Y(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) d_n(t) dt — интеграл Джексона

Y_n(f) \in H_{2n - 2}

E_{2n - 2} (f) \le \
[math]\triangleleft[/math]

Следствия

f \in C^1 — непрерывная, дифференциируемая

|f(x + t) - f(x)| = |f'(x + \theta t)| |t|, |f'(x + \theta t)| \le \| f' \|_C

\omega(f, h) \le \| f' \|_C h

\omega(f, \frac{3 \pi}{n + 1}) \le \| f' \|_C \frac{3 \pi}{n + 1}

Следствие:

f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \| f' \|_C \frac{6 \pi}{n + 1}

f \in C^{(p)}

E_n(f) = E_n(f + T), T \in H_n

Рассмотрим T_n(f'). Как и при почленном интегрировании рядов Фурье если из него вычесть его нулевой коэффициент Фурье и написать интеграл от 0 до x, мы получим тригонометрический полином.

\int\limits_0^x (T_n(f', t) - \frac{1}{2} a_0 (T_n(f'))) dt \in H_n

Подставим это в предыдущее равенство вместо T:

E_n(f) = E_n(f - \int\limits_0^x T_n(f', t) - \frac12 a_0(T_n(f')) dt) \le \frac{6 \pi}{n + 1} \| g' \| = \frac{6 \pi}{n + 1} \| f' - T_n(f') + \frac12 a_0(T_n(f'))) \| \le \frac{6 \pi}{n + 1} ( \| f' - T_n(f') \| + \frac12 | a_0(T_n (f'))|)

\frac12 a_0(T_n(f')) \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q T_n (f', x) dx

f' — 2 \pi-периодична \Rightarrow \int\limits_Q f' = f(\pi) - f(-\pi) = 0

\frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x))dx

|\frac12 a_0(T_n(f'))| \le \| T_n(f') - f'\| = E_n(f')

Утверждение:

f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f')

p = 1: E_n(f) \le \| f' \| \frac{6 \pi}{n + 1}

p = 2: E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') \le 2 (\frac{6 \pi}{n+1})^2 \| f \|_C

По индукции приходим к:

f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p — const.

То есть чем больше дифференциируемая(гладкая) функция, тем быстрее наилучшее приближение стремится к нулю.

Википедия — Ядро Джексона

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Теорема_Джексона&oldid=26803»