Изменения

Пофиксите в общем, эту муть, а то я уже офигеваю с этого. -[[Теорема_Лузина-Данжуа|<<]][[Участник:DgerasimovОб_интеграле_Фурье|Дмитрий Герасимов>>]] 21:32, 24 июня 2012 (GST){{В разработке}}Ранее нами введено [[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах | наилучшее приближение]] в <tex> C </tex>:

[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах | Ранее]] было установлено, что <tex> E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>.

<tex>\le \int\limits_Q \omega^*(f, |t|) J_n(t) dt \le </tex> (применим [[Выпуклые функции#Неравенство Йенсена | неравенство Йенсена]] для выпуклых функций) <tex> \le \omega^*(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) \le 2 \omega(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) </tex>

Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1frac3{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.

Так как ядро Джексона является тригонометрическим полиномом, то <tex> \int\limits_Q d_n(t) = 2\pi a_0 = 2\pi d_1(t) = 2\pi \frac3{2 \pi \cdot 1 </tex> \cdot 3} \left( \frac{\sin\frac{t}{2}}{\sin\frac{TODO|t=а доказать?}{2}}\right)^4 = 1</tex>.

<tex> \int\limits_0^{2 \pi} t d_n(t) \le \frac{3}{4} \frac{1\pi}{n} </tex>

<tex> \int\limits_0^{2 \pi} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} </tex>

<tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{13}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 dt \le </tex><tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{n3n^4}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} dt = \frac{13}{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)^2 \frac{n^3}{2 \pi (2n^2 + 1)} \le a \frac{13}{n} </tex>

<tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} t \frac{\pi^4}{t^4} \frac{13}{2 \pi n (2 n^2 +1)} dt = \frac{1}{2} \frac{13}{2 \pi n (2n^2 +1)} \left( \frac{4 n^2}{\pi^2} - \frac{1}{\pi^2} \right) \le b \frac{13}{n} </tex>. Неравенство установили.

<tex> E_{2n - 2} (f) \le \| f - Y_n(f) \| \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| d_n(t) dt) \le 2 \omega (f, 2 \cdot \frac{3}{4 n}) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>{{TODO|t=что-то мутно}}

Приходим к требуемому неравенству соединяя эти два, что и требовалось.

<tex> E_n(f) = E_n(f - \int\limits_0^x T_n(f', t) - \frac12 a_0(T_n(f')) dt) \le \frac{6 \pi}{n + 1} \| g' \| = \frac{6 \pi}{n + 1} \| f' - T_n(f') + \frac12 a_0(T_n(f'))) \| \le \frac{6 \pi}{n + 1} ( \| f' - T_n(f') \| + \frac12 | a_0(T_n (f'))|) (\star) </tex>

<tex> \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q T_n (f', x) dx </tex>

<tex> f' </tex> — <tex> 2 \pi </tex>-периодична <tex> \Rightarrow \int\limits_Q f' = f(\pi) - f(-\pi) = 0 </tex>

<tex> \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x))dx </tex>  <tex> |\frac12 a_0le \frac{1}{2 \pi} 2 \pi \sup\limits_Q (T_n(f', x)- f'(x)| \le ) = \| T_n(f') - f'\| _C = E_n(f') </tex> Утверждение. Подставим в <tex>(\star)</tex> и получим в итоге следующее: