Теорема Дирака — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Теорема)
(бред написан какой-то)
 
(не показаны 2 промежуточные версии 2 участников)
Строка 5: Строка 5:
 
|proof=
 
|proof=
 
Рассмотрим путь максимальной длины <tex>P = v_0 v_1 \dots v_s</tex>. Все смежные с <tex>v_0</tex> вершины лежат на <tex>P</tex>. Обозначим <tex>k = \max \{i: v_0 v_i \in E\} </tex>. Тогда <tex>\delta \leqslant \deg v_0 \leqslant k</tex>. Цикл  <tex>C = v_0 v_1 \dots v_k v_0</tex> имеет длину <tex>l = k + 1 \geqslant \delta + 1</tex>
 
Рассмотрим путь максимальной длины <tex>P = v_0 v_1 \dots v_s</tex>. Все смежные с <tex>v_0</tex> вершины лежат на <tex>P</tex>. Обозначим <tex>k = \max \{i: v_0 v_i \in E\} </tex>. Тогда <tex>\delta \leqslant \deg v_0 \leqslant k</tex>. Цикл  <tex>C = v_0 v_1 \dots v_k v_0</tex> имеет длину <tex>l = k + 1 \geqslant \delta + 1</tex>
}}
 
 
==Теорема==
 
 
{{Теорема
 
|about=Дирак
 
|statement=
 
КТО ИЗ 8М ДАЖЕ НЕ ПЫТАЙТЕСЬ СПИСАТЬ!.
 
 
}}
 
}}
  

Текущая версия на 01:43, 15 апреля 2021

Лемма о длине цикла[править]

Лемма (о длине цикла):
Пусть [math]G[/math] — произвольный неориентированный граф и [math]\delta[/math] — минимальная степень его вершин. Если [math]\delta \geqslant 2[/math], то в графе [math]G[/math] существует цикл [math]C[/math] длиной [math]l \geqslant \delta + 1[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим путь максимальной длины [math]P = v_0 v_1 \dots v_s[/math]. Все смежные с [math]v_0[/math] вершины лежат на [math]P[/math]. Обозначим [math]k = \max \{i: v_0 v_i \in E\} [/math]. Тогда [math]\delta \leqslant \deg v_0 \leqslant k[/math]. Цикл [math]C = v_0 v_1 \dots v_k v_0[/math] имеет длину [math]l = k + 1 \geqslant \delta + 1[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Альтернативное доказательство[править]

Теорема (Дирак — альтернативное доказательство):
Пусть [math]G[/math] — неориентированный граф и [math]\delta[/math] — минимальная степень его вершин. Если [math]n \geqslant 3[/math] и [math]\delta \geqslant n/2[/math], то [math]G[/math]гамильтонов граф.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для [math]\forall k[/math] верна импликация [math]d_k \leqslant k \lt n/2 \Rightarrow d_{n-k} \geqslant n-k[/math], поскольку левая её часть всегда ложна. Тогда по теореме Хватала [math]G[/math] — гамильтонов граф.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Вывод из теоремы Оре):
Пусть [math]G[/math] — неориентированный граф и [math]\delta[/math] — минимальная степень его вершин. Если [math]n \geqslant 3[/math] и [math]\delta \geqslant n/2[/math], то [math]G[/math]гамильтонов граф.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Возьмем любые неравные вершины [math] u, v \in G [/math]. Тогда [math] \displaystyle \deg u + \deg v \geqslant \frac n 2 + \frac n 2 = n [/math]. По теореме Оре [math] G [/math] — гамильтонов граф.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Wikipedia — Dirac's Theorem
  • Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). Handbook of Combinatorics, Volumes 1 and 2. Elsevier (North-Holland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass. ISBN 0-262-07169-X.