Изменения

9м топ остальным по лицу хлоп ==Альтернативное доказательство== {{ЛеммаТеорема|about=о длине циклаДирак {{---}} альтернативное доказательство|statement= Пусть <tex>G</tex> {{- произвольный --}} неориентированный граф и <tex>\delta</tex> {{- --}} минимальная степень его вершин. Если <tex>n \delta \ge 2geqslant 3</tex>, то в графе и <tex>G<\delta \geqslant n/tex> существует цикл <tex>C2</tex> длиной , то <tex>l \ge \delta + 1G</tex>{{---}} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]].

Рассмотрим путь максимальной длины Для <tex>P = v_0 v_1 .. v_s\forall k</tex>. Все смежные с верна импликация <tex>v_0d_k \leqslant k <n/tex> вершины лежат на <tex>P</tex>. Обозначим <tex>k = max2 \Rightarrow d_{i: v_0 v_i n-k} \in E\}geqslant n-k</tex>, поскольку левая её часть всегда ложна. Тогда по [[Теорема Хватала | теореме Хватала]] <tex>\delta \le deg\ v_0 \le kG</tex>{{---}} гамильтонов граф. Цикл <tex>C = v_0 v_1 .. v_k v_0</tex> имеет длину <tex>l = k + 1 \ge \delta + 1</tex>

|about=ДиракВывод из [[Теорема Оре|теоремы Оре]]|statement=Пусть <tex>G</tex> {{- --}} неориентированный граф и <tex>\delta</tex> {{- --}} минимальная степень его вершин. Если <tex>n \ge geqslant 3</tex> и <tex>\delta \ge geqslant n/2</tex>, то <tex>G</tex> {{-- -}} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]].|proof=Пусть <tex>C</tex> - цикл наибольшей длины в графе Возьмем любые неравные вершины <tex>u, v \in G</tex>. По лемме его длина Тогда <tex>l \ge displaystyle \delta deg u + 1</tex>. Если <tex>C</tex> - гамильтонов, то теорема доказана. Предположим обратное, т. е. <tex>G \backslash C \ne \varnothing</tex>. Рассмотрим путь <tex>P = x..y : P \cap C = \{y\}</tex> наибольшей длины <tex>m</tex>. Заметим, что по условию <tex>deg v \delta geqslant \ge frac n/2</tex>, а значит <tex>+ \delta \ge frac n - \delta > 2 = n - l = |V(G \backslash C)|</tex> и каждая вершина из . По теореме Оре <tex>G \backslash C</tex> смежна с некоторыми вершинами из <tex>C</tex>.Заметим, что вершина <tex>x</tex> не может быть смежна с вершинами из <tex>C</tex>, расстояние от которых до <tex>y</tex> (по <tex>C</tex>) не превышает m, а также двум смежным вершинам(это противоречило бы максимальности цикла <tex>C</tex>). Получаем <tex>deg\ x \le m + (l {{--- 2m)/2 =l/2 < n/2 \le \delta</tex>. Противоречие}} гамильтонов граф.

Обратим внимание, что эта теорема является следствием из ==См. также==* [[Гамильтоновы графы]]* [[Теорема Хватала]]* [[Теорема Оре]]* [[Теорема Поша]] == Источники информации ==* [[wikipedia:en:Dirac's_Theorem|теоремы ХваталаWikipedia {{---}} Dirac's Theorem]]* Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). Действительно''Handbook of Combinatorics'', для <tex>\forall k</tex> верна импликация <tex>d_k \le k < n/Volumes 1 and 2 \Rightarrow d_{n. Elsevier (North-Holland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass. ISBN 0-262-k} \ge n07169-k</tex>, поскольку левая её часть всегда ложнаX.