Теорема Дирака — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Лемма о длине цикла)
(Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии)
 
(не показаны 32 промежуточные версии 10 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
==Нохчо любит ослов салам алейкум в туза==
 +
 +
==Альтернативное доказательство==
 +
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 +
|about=Дирак {{---}} альтернативное доказательство
 
|statement=
 
|statement=
Если <tex>n > 3</tex> и <tex>deg\ v \ge n/2</tex> для любой вершины <tex>v</tex> неориентированного графа  <tex>G</tex>, то  <tex>G</tex> - гамильтонов граф.
+
Пусть <tex>G</tex> {{---}} неориентированный граф и <tex>\delta</tex> {{---}} минимальная степень его вершин. Если <tex>n \geqslant 3</tex> и <tex>\delta \geqslant n/2</tex>, то  <tex>G</tex> {{---}} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]].
 
|proof=
 
|proof=
По [[Теорема Хватала|теореме Хватала]]: для <tex>\forall k</tex> верна импликация <tex>d_k \le k < n/2 \Rightarrow d_{n-k} \ge n-k</tex>  
+
Для <tex>\forall k</tex> верна импликация <tex>d_k \leqslant k < n/2 \Rightarrow d_{n-k} \geqslant n-k</tex>, поскольку левая её часть всегда ложна. Тогда по [[Теорема Хватала | теореме Хватала]] <tex>G</tex> {{---}} гамильтонов граф.
 
}}
 
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|about = Вывод из [[Теорема Оре|теоремы Оре]]
 +
|statement =
 +
Пусть <tex>G</tex> {{---}} неориентированный граф и <tex>\delta</tex> {{---}} минимальная степень его вершин. Если <tex>n \geqslant 3</tex> и <tex>\delta \geqslant n/2</tex>, то  <tex>G</tex> {{---}} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]].
 +
|proof =
 +
Возьмем любые неравные вершины <tex> u, v \in G </tex>. Тогда <tex> \displaystyle \deg u + \deg v \geqslant \frac n 2 + \frac n 2 = n </tex>. По теореме Оре <tex> G </tex> {{---}} гамильтонов граф.
 +
}}
 +
 +
==См. также==
 +
* [[Гамильтоновы графы]]
 +
* [[Теорема Хватала]]
 +
* [[Теорема Оре]]
 +
* [[Теорема Поша]]
 +
 +
== Источники информации ==
 +
* [[wikipedia:en:Dirac's_Theorem|Wikipedia {{---}} Dirac's Theorem]]
 +
* Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). ''Handbook of Combinatorics'', Volumes 1 and 2.  Elsevier (North-Holland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass. ISBN 0-262-07169-X.
 +
 +
 +
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория: Обходы графов]]
 +
[[Категория: Гамильтоновы графы]]

Текущая версия на 12:54, 20 ноября 2021

Нохчо любит ослов салам алейкум в туза[править]

Альтернативное доказательство[править]

Теорема (Дирак — альтернативное доказательство):
Пусть [math]G[/math] — неориентированный граф и [math]\delta[/math] — минимальная степень его вершин. Если [math]n \geqslant 3[/math] и [math]\delta \geqslant n/2[/math], то [math]G[/math]гамильтонов граф.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для [math]\forall k[/math] верна импликация [math]d_k \leqslant k \lt n/2 \Rightarrow d_{n-k} \geqslant n-k[/math], поскольку левая её часть всегда ложна. Тогда по теореме Хватала [math]G[/math] — гамильтонов граф.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Вывод из теоремы Оре):
Пусть [math]G[/math] — неориентированный граф и [math]\delta[/math] — минимальная степень его вершин. Если [math]n \geqslant 3[/math] и [math]\delta \geqslant n/2[/math], то [math]G[/math]гамильтонов граф.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Возьмем любые неравные вершины [math] u, v \in G [/math]. Тогда [math] \displaystyle \deg u + \deg v \geqslant \frac n 2 + \frac n 2 = n [/math]. По теореме Оре [math] G [/math] — гамильтонов граф.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Wikipedia — Dirac's Theorem
  • Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). Handbook of Combinatorics, Volumes 1 and 2. Elsevier (North-Holland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass. ISBN 0-262-07169-X.