403
правки
Изменения
м
{{TODO|t=читай@рефакторь}}
Значит, согласно [[Суммирование_расходящихся_рядов#теорема Харди|теореме Харди]], учитывая последнее неравенство, если Теперь рассмотрим случай <tex>f \sum\limits_notin C </tex>. Пусть <tex>T_n(x)</tex> {{k=---}} полином степени не выше <tex>n}^\infty r_k^2 \le \frac Mn</tex>, то наилучшего приближения <tex>s_n(f) \rightrightarrows f</tex>, то есть, ряд фурье будет равномерно сходиться к функции в <tex>fC</tex>., то:
С другой стороны, если составить разность <tex>s_nE_n(f,x) _C = \|f - f(x)T_n\|_C</tex> и обозначить, <tex>s_n(T_n, x) = T_n(x)</tex> {{---}} полином степени не выше <tex>n</tex> наилучшего приближения в <tex>C</tex>.
Тогда Значит, <tex>E_ns_n(f, x) - f(x)_C = \|(s_n(f ,x)- T_n\|_C(x)) + (T_n(x) - f(x))</tex>, <tex>= s_n(f - T_n, x) + T_n(x) - f(x) = </tex> (применяя интеграл Дирихле)<tex>= \int\limits_Q (f(x + t) - T(x + t))D_n(t) dt + T_n(x) - f(x)</tex>.
ЗначитПоэтому, <tex>|s_n(f, x) - f(x) = (s_n(f,x)-T_n(x)) + (T_n(x) - f_n(x))</tex><tex>= s_n(f - T_n, x) + T_n(x) - f(x) </tex> [применяя интеграл Дирихле]<tex>= | \le \int\limits_Q (|f(x + t) - TT_n(x + t))| \cdot |D_n(t) | dt + |T_n(x) - f(x)|</tex>
Поэтому, Итого: <tex>\|f_ns_n(f, x) - f(x)\|</tex><tex>_C \le \int\limits_Q |fD_n(x+t) | dt \|f- T_n(x\|_C +t)\|f-T_n\| _C = \left(\int\cdot limits_Q |f_nD_n(t)| dt + |T_n1\right) E(x) - f(x)|_C</tex>
Итого: Пусть <tex>\|s_n(t) - f\|_C \le \int\limits_Q |D_n(t)| dt \|f-T_n\| + \|f-T_n\|_C</tex> <tex>= \left(\int\limits_Q \|D_n(t)\| dt + 1\right) E(f)_Cl_n </tex>.
Мы оцениваем Применим прошлую теорему. Получим, что сходится к числу <tex>\sum r_n^frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>. Так как функция непрерывна, которое не зависит от <tex>f(x+0)=f(x-0)</tex>. Соединим прошлые результаты параграфа с ограниченной вариацией.{{TODO|t=Типа, вот оно и было?}}{{TODO|t=эм, надо как-то прокомментировать, чтоли}}
→Пример
[[Интеграл Римана-Стилтьеса|<<]][[О почленном интегрировании ряда Фурье|>>]]
{{В разработке}}
{{Определение|definition=<tex>\frac{a_0}2 + |f\sum\limits_{n|_C =1}^\infty sup |f(a_n \cos n\alpha + b_n \sin n\alpha) = \sigma(f, x)|</tex>}}
{{Утверждение|statement=Пусть <tex>a_n E_n(f)_C\cos nx + b_nln n \sin nx = r_n xrightarrow[n \cos(nx + to \phi_n)infty]{} 0 </tex>, где . Тогда <tex>r_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}sigma(f)</tex> равномерно сходится к <tex>|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le r_nf</tex>.|proof=Если <tex>f\in C</tex>, то по [[теорема Фейера|теореме Фейера]], в <tex>L_p</tex>, суммы Фейера <tex>\sigma_n(f) \rightrightarrows f</tex>.Другим языкомДругими словами, ряд Фурье будет суммироваться сходиться к <tex>f</tex> методом равномерно в смысле средних арифметических равномерно.
Тогда <tex>\|s_n(f)-f\|_C \le (e_n l_n + 1) E_n(f)_C</tex>, <tex>E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex> (по теореме Вейерштрасса)
Если <tex>e_nE_nl_n E_n(f)_C \to 0</tex>, то <tex>\|f_nS_n(x) - f\|_C \to 0 </tex> <tex>\iff</tex>
<tex>f_n(t) \rightrightarrows f </tex> на <tex>\mathbb{R}</tex>.
Так как <tex>e_n l_n \sim \ln n</tex>, приходим к очередному признаку:{{Утверждение|statement=<tex>E_n(t)_C\ln n \to 0 \Rightarrow \sigma(f)</tex> равномерно сходится к <tex>f</tex>|proof={{TODO|t=зарефакторить сюды то, что выше}}получаем искомый результат.
}}
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
|proof=
Пусть <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</tex>.
Можно представить <tex>a_n \cos nx + b_n\sin nx </tex> как <tex> r_n \cos(nx + \phi_n)</tex>, где <tex>r_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}</tex>.
Тогда <tex>|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le r_n</tex>.
Cогласно [[Суммирование_расходящихся_рядов#теорема Харди|теореме Харди]], учитывая последнее неравенство, если <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2 \le \frac Mn</tex>,
то <tex>s_n(f) \rightrightarrows f</tex>, то есть, ряд Фурье будет равномерно сходиться к функции <tex>f</tex>.
Рассмотрим функцию <tex>f \in \bigvee</tex>, <tex>f</tex> {{---}} разность двух возрастающих, значит, каждая её точка
регулярна. По следствию из теоремы Фейера, <tex>\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}</tex>.
[[Интеграл Римана-Стилтьеса#Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации|С другой стороны]], для таких функций <tex>|a_n(t)|, |b_n(t)| \le \frac Mn</tex>, то есть <tex>r_n^2 \le \frac {M_1}{n^2}</tex>.
Значит, <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2</tex>
<tex>= \frac{M_1}{n - 1}</tex>
Получилось условие теоремы Харди, в силу которой начнёт сходиться ряд Фурье в точке <tex>x</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>f\in CV \Rightarrow </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x : f</tex> разкладывается раскладывается в равномерносходящийся равномерно сходящийся ряд Фурье.
|proof=
}}
Значение в <tex>\frac\pi2</tex>:
<tex>\sigma(f, \frac\pi2) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin \frac{(2m+1)\pi}{2}</tex>
<tex>= \frac4\pi\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^m \frac1{2m+1}</tex><tex>= \frac{\pi}{4}1</tex>
===Пример===
<tex>x = 0: \sum\limits_{m=0}^\infty \frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8</tex>
[[Интеграл Римана-Стилтьеса|<<]][[О почленном интегрировании ряда Фурье|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
