Теорема Иммермана

Теорема Иммермана

Утверждение теоремы

NL = coNL

Доказательство

Решим задачу STNONCON на логарифмической памяти.

[math]\text{STNONCON}=\{\langle G=\langle V,E\rangle,s,t\rangle\colon [/math] нет пути из [math]s[/math] в [math]t[/math] в графе [math]G\}.[/math]

Чтобы показать, что STNONCON входит в NL, можно придумать недетерминированый алгоритм, использующий [math]O(\log n)[/math] памяти, который проверяет достижима ли вершина t из s.

Чтобы показать правильность работы алгоритма необходимо показать:

• В случае недостижимости t из s недетерминированые выборы приводят алгоритм к единице.
• Если t достижима из s, то вне зависимости от недетерминированых выбором, совершаемых алгоритмом, результат ноль.

Определим R_i = {v: существует путь из s в v длиной ≤ i}. Другими словами это множество всех вершин, достижимых из s не более чем за i шагов. Обозначим |R_i| за r_i. Заметим, что если [math]t \notin R_{n-1}[/math], где n = |V|, то не существует путь s в t в графе G, то есть [math]\langle G,s,t\rangle[/math] ∈ STNONCON.