Теорема Иммермана — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Исправлено доказательство)
 
Строка 7: Строка 7:
 
| proof =  
 
| proof =  
 
Очевидно, что язык <tex>\mathrm{NCONN}</tex> является дополнением языка <tex>\mathrm{CONN}</tex>.
 
Очевидно, что язык <tex>\mathrm{NCONN}</tex> является дополнением языка <tex>\mathrm{CONN}</tex>.
Чтобы показать, что <tex>\mathrm{NCONN}\in \mathrm{NL}</tex>, придумаем недетерминированый алгоритм, использующий <tex>O(\log |G|)</tex> памяти, который проверяет, достижима ли вершина  <tex>t</tex> из  <tex>s</tex>.
+
Чтобы показать, что <tex>\mathrm{NCONN}\in \mathrm{NL}</tex>, придумаем недетерминированный алгоритм, использующий <tex>O(\log |G|)</tex> дополнительной памяти, который проверяет, достижима ли вершина  <tex>t</tex> из  <tex>s</tex>.
  
 
Определим <tex>R_i</tex> = {<tex>v \bigm|</tex> существует путь из <tex>s</tex> в <tex>v</tex> длиной <tex>\leq i</tex>}.
 
Определим <tex>R_i</tex> = {<tex>v \bigm|</tex> существует путь из <tex>s</tex> в <tex>v</tex> длиной <tex>\leq i</tex>}.
Строка 14: Строка 14:
 
Введем обозначение <tex>r_i=|R_i|</tex>.
 
Введем обозначение <tex>r_i=|R_i|</tex>.
 
Если <tex>t \notin R_{n-1}</tex>, где <tex>n = |V|</tex>, то не существует путь из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> в графе <tex>G</tex>, то есть <tex>\langle G, s, t \rangle \in \mathrm{NCONN}</tex>.
 
Если <tex>t \notin R_{n-1}</tex>, где <tex>n = |V|</tex>, то не существует путь из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> в графе <tex>G</tex>, то есть <tex>\langle G, s, t \rangle \in \mathrm{NCONN}</tex>.
Можно построить недетерминированный алгоритм, который будет допускать <tex>r_i</tex> (то есть определять, существует ли путь из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> такой длины) и при этом будет перечислять все вершины из <tex>R_i</tex> на <tex>O(\log |G|)</tex> памяти (это будет доказано ниже).
+
 
 +
Можно построить недетерминированный алгоритм, который будет решать задачу <tex>\mathrm{NCONN}</tex> на <tex>O(\log |G|)</tex> памяти (это будет доказано ниже).
  
 
Таким образом показано, что <tex>\mathrm{NCONN} \in \mathrm{NL}</tex>.
 
Таким образом показано, что <tex>\mathrm{NCONN} \in \mathrm{NL}</tex>.
Строка 23: Строка 24:
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
| statement = Можно построить недетерминированный алгоритм, который будет допускать <tex>r_i</tex> и при этом будет перечислять все вершины из <tex>R_i</tex> на <tex>O(\log |G|)</tex> памяти.
+
| statement = Можно построить недетерминированный алгоритм, который будет решать задачу <tex>\mathrm{NCONN}</tex> на <tex>O(\log |G|)</tex> памяти.
 
| proof =  
 
| proof =  
Можно построить недетерминированный алгоритм, который будет допускать <tex>r_i</tex> и при этом будет перечислять все вершины из <tex>R_i</tex> на <tex>O(\log |G|)</tex> памяти.
+
Для начала приведем недетерминированный алгоритм, находящий путь между двумя вершинами с длиной не более заданной.
   '''Enum'''(<tex>s, i, r_i, G</tex>)
+
  '''CheckPath'''(<tex>s,t,k</tex>)
     <tex>counter</tex> <tex>\leftarrow</tex> 0                //количество уже найденных и выведенных элементов
+
    <tex>cur \leftarrow s</tex>
 +
    '''for''' <tex>i = 1..k</tex> '''do'''
 +
      <tex>v \leftarrow_? \left\{1..n\right\}</tex>
 +
      '''if''' <tex>(cur,v) \notin E</tex>
 +
        '''reject'''
 +
      <tex>cur \leftarrow v</tex>
 +
    '''if''' <tex>cur \ne t</tex>
 +
      '''reject'''
 +
 
 +
Теперь можно построить недетерминированный алгоритм, который будет принимать на вход <tex>r_i</tex> и (в случае корректности <tex>r_i</tex>) будет перечислять все вершины из <tex>R_i</tex> на <tex>O(\log |G|)</tex> памяти.
 +
   '''Enumerate'''(<tex>s, i, r_i, G</tex>)
 +
     <tex>counter \leftarrow 0 </tex>                 //количество уже найденных и выведенных элементов
 
     '''for''' <tex>v = 1..n</tex> '''do'''              //перебираем все вершины графа
 
     '''for''' <tex>v = 1..n</tex> '''do'''              //перебираем все вершины графа
       '''continue''' or find path      //недетерминированно угадываем путь из s до v или переходим к следующей вершине
+
       <tex>tryV \leftarrow_? \left\{0, 1\right\}</tex>              //недетерминированно угадываем путь из s до v или переходим к следующей вершине
 +
      '''if''' <tex>tryV = 0</tex>
 +
        '''continue'''
 +
      '''CheckPath'''<tex>(s,v,i)</tex>
 
       <tex>counter</tex>++
 
       <tex>counter</tex>++
       '''return''' <tex>v</tex>                  //выдаем вершину, до которой угадали путь
+
       '''output''' <tex>v</tex>                  //выдаем вершину, до которой угадали путь
     '''if''' (<tex>counter \geq r_i</tex>)            //нашли <tex>r_i</tex> вершин, допускаем, завершаем работу
+
     '''if''' <tex>counter \neq r_i</tex>               //не нашли <tex>r_i</tex> вершин, не допускаем
       '''accept'''
+
       '''reject'''
    '''reject'''                       //не нашли <tex>r_i</tex> вершин, не допускаем
 
 
      
 
      
'''Enum''' перебирает все вершины на логарифмической памяти и пытается угадать путь до этой вершины из <tex>s</tex>.
+
'''Enumerate''' перебирает все вершины на логарифмической памяти и пытается угадать путь до этой вершины из <tex>s</tex>.
 
Под угадыванием пути подразумевается последовательность недетерминированных выборов следующей вершины пути из <tex>s</tex> в <tex>v</tex>.
 
Под угадыванием пути подразумевается последовательность недетерминированных выборов следующей вершины пути из <tex>s</tex> в <tex>v</tex>.
Для угадывания пути необходимо <tex>O(\log |G|)</tex> памяти, так как необходимо лишь хранить текущую и следующую угадываемую вершины угадываемого пути.
+
Для угадывания пути необходимо <tex>O(\log |G|)</tex> памяти, так как необходимо лишь хранить текущую и следующую угадываемую вершины угадываемого пути.
'''Enum''' является недетерминированым алгоритмом, и если существует порядок его исполнения достигающий '''accept''', то происходит допуск.
 
  
Теперь, имея '''Enum''', можно по индукции находить <tex>r_i</tex>.               
+
Теперь, имея '''Enumerate''', можно по индукции строить <tex>r_i</tex>.               
 
Очевидно, что <tex>r_0 = 1</tex>, так как <tex>R_0</tex> содержит единственную вершину — <tex>s</tex>.  
 
Очевидно, что <tex>r_0 = 1</tex>, так как <tex>R_0</tex> содержит единственную вершину — <tex>s</tex>.  
 
Пусть известно значение <tex>r_i</tex>.  
 
Пусть известно значение <tex>r_i</tex>.  
Строка 48: Строка 61:
  
 
   '''Next'''(<tex>s, i, r_i, G</tex>)
 
   '''Next'''(<tex>s, i, r_i, G</tex>)
     <tex>r = 1</tex>                          //<tex>r_{i+1}</tex> хотя бы один, так как <tex>s \in R_{i+1}</tex>
+
     <tex>r \leftarrow 1</tex>                          //<tex>r_{i+1}</tex> хотя бы один, так как <tex>s \in R_{i+1}</tex>
     '''for''' <tex>v = 1..n</tex>; <tex>v \ne s</tex> '''do'''           //перебираем все вершины графа, кроме <tex>s</tex> — это кандидаты на попадание в <tex>R_{i+1}</tex>
+
     '''for''' <tex>v = 1..n</tex> : <tex>v \ne s</tex> '''do'''         //перебираем все вершины графа, кроме <tex>s</tex> — это кандидаты на попадание в <tex>R_{i+1}</tex>
       '''for''' <tex>u : (u, v) \in E</tex> '''do'''           //перебираем все ребра, входящие в <tex>v</tex>
+
       '''for''' <tex>u \in V : (u, v) \in E</tex> '''do'''       //перебираем все ребра, входящие в <tex>v</tex>
         '''if''' (<tex>u</tex> '''in''' '''Enum'''(<tex>s, i, r_i, G</tex>))    //перечисляем все вершины из <tex>R_i</tex>, если <tex>u</tex> одна из них, то <tex>v \in R_{i+1}</tex>
+
         '''if''' <tex>u</tex> '''in''' '''Enumerate'''(<tex>s, i, r_i, G</tex>) //перечисляем все вершины из <tex>R_i</tex>, если <tex>u</tex> одна из них, то <tex>v \in R_{i+1}</tex>
 
           <tex>r</tex>++                      //увеличиваем количество найденных вершин и переходим к рассмотрению следующего кандидата
 
           <tex>r</tex>++                      //увеличиваем количество найденных вершин и переходим к рассмотрению следующего кандидата
 
           '''break'''  
 
           '''break'''  
Строка 60: Строка 73:
 
Для каждого из них перебираются все ребра, в него входящие.
 
Для каждого из них перебираются все ребра, в него входящие.
 
Затем перечисляются все вершины из <tex>R_i</tex> и, если начало нашего ребра было перечислено, то <tex>v \in R_{i + 1}</tex>.
 
Затем перечисляются все вершины из <tex>R_i</tex> и, если начало нашего ребра было перечислено, то <tex>v \in R_{i + 1}</tex>.
Алгоритм использует <tex>O(\log |G|)</tex> памяти, так необходимо хранить лишь <tex>v</tex>, <tex>u</tex>, <tex>r</tex> и еще поочередно значения полученные в результате вызова '''Enum'''.
+
Алгоритм использует <tex>O(\log |G|)</tex> памяти, так необходимо хранить лишь <tex>v</tex>, <tex>u</tex>, <tex>r</tex> и еще поочередно значения полученные в результате вызова '''Enumerate'''.
  
 
Теперь напишем алгоритм, который будет недетерминированно решать задачу <tex>\mathrm{NCONN}</tex> на логарифмической памяти.
 
Теперь напишем алгоритм, который будет недетерминированно решать задачу <tex>\mathrm{NCONN}</tex> на логарифмической памяти.
Строка 68: Строка 81:
  
 
   '''NCONN'''(<tex>G, s, t</tex>)
 
   '''NCONN'''(<tex>G, s, t</tex>)
     <tex>r_n = 1</tex>                         //<tex>r_0 = 1</tex>
+
     <tex>r_n \leftarrow 1</tex>                           //<tex>r_0 = 1</tex>
     '''for''' <tex>i = 0..n - 2</tex> '''do'''               //вычисляем <tex>r_{n-1}</tex>
+
     '''for''' <tex>i = 0..n - 2</tex> '''do'''                 //вычисляем <tex>r_{n-1}</tex>
 
       <tex>r_n = </tex> '''Next'''(<tex>s, i, r_n, G</tex>)
 
       <tex>r_n = </tex> '''Next'''(<tex>s, i, r_n, G</tex>)
     '''if''' (<tex>t1</tex> '''in''' '''Enum'''(<tex>s, n - 1, r_n, G</tex>))  //перечисляем вершины из <tex>R_{n-1}</tex>, если <tex>t</tex> была перечислена, то <tex>t</tex> достижима и выдаем '''reject''', иначе '''accept'''
+
     '''if''' <tex>t</tex> '''in''' '''Enumerate'''(<tex>s, n - 1, r_n, G</tex>)  //перечисляем вершины из <tex>R_{n-1}</tex>, если <tex>t</tex> была перечислена, то <tex>t</tex> достижима и выдаем '''reject''', иначе '''accept'''
 
       '''reject'''
 
       '''reject'''
 
     '''else'''
 
     '''else'''
 
       '''accept'''
 
       '''accept'''
  
Данный алгоритм использует <tex>O(\log |G|)</tex> памяти, так как для хранения <tex>r_n</tex> и <tex>i</tex> необходимо <tex>O(\log |G|)</tex>, и для вызываемых '''Next''' и '''Enum''' необходимо <tex>O(\log |G|)</tex> памяти.
+
Данный алгоритм использует <tex>O(\log |G|)</tex> памяти, так как для хранения <tex>r_n</tex> и <tex>i</tex> необходимо <tex>O(\log |G|)</tex>, и для вызываемых '''Next''' и '''Enumerate''' необходимо <tex>O(\log |G|)</tex> памяти.
 
}}
 
}}

Текущая версия на 19:50, 14 марта 2013

Определение:
Задача несуществования пути между двумя заданными вершинами в данном графе [math]\mathrm{NCONN} = \{\langle G, s, t \rangle \bigm|[/math] в графе G нет пути из s в t[math]\}.[/math]


Теорема:
[math]\mathrm{coNL} = \mathrm{NL}.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что язык [math]\mathrm{NCONN}[/math] является дополнением языка [math]\mathrm{CONN}[/math]. Чтобы показать, что [math]\mathrm{NCONN}\in \mathrm{NL}[/math], придумаем недетерминированный алгоритм, использующий [math]O(\log |G|)[/math] дополнительной памяти, который проверяет, достижима ли вершина [math]t[/math] из [math]s[/math].

Определим [math]R_i[/math] = {[math]v \bigm|[/math] существует путь из [math]s[/math] в [math]v[/math] длиной [math]\leq i[/math]}. Другими словами это множество всех вершин, достижимых из [math]s[/math] не более чем за [math]i[/math] шагов.

Введем обозначение [math]r_i=|R_i|[/math]. Если [math]t \notin R_{n-1}[/math], где [math]n = |V|[/math], то не существует путь из [math]s[/math] в [math]t[/math] в графе [math]G[/math], то есть [math]\langle G, s, t \rangle \in \mathrm{NCONN}[/math].

Можно построить недетерминированный алгоритм, который будет решать задачу [math]\mathrm{NCONN}[/math] на [math]O(\log |G|)[/math] памяти (это будет доказано ниже).

Таким образом показано, что [math]\mathrm{NCONN} \in \mathrm{NL}[/math]. Поскольку [math]\mathrm{CONN} \in \mathrm{NLC}[/math], то аналогичным образом [math]\mathrm{NCONN} \in \mathrm{coNLC}[/math]. Получаем, что любую задачу из [math]\mathrm{coNL}[/math] можно свести к задаче из [math]\mathrm{NL}[/math], а значит [math]\mathrm{coNL} \subset \mathrm{NL}[/math].

Из соображений симметрии [math]\mathrm{NL} \subset \mathrm{coNL}[/math], а значит [math]\mathrm{coNL} = \mathrm{NL}[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Можно построить недетерминированный алгоритм, который будет решать задачу [math]\mathrm{NCONN}[/math] на [math]O(\log |G|)[/math] памяти.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для начала приведем недетерминированный алгоритм, находящий путь между двумя вершинами с длиной не более заданной.

 CheckPath([math]s,t,k[/math])
   [math]cur \leftarrow s[/math]
   for [math]i = 1..k[/math] do
     [math]v \leftarrow_? \left\{1..n\right\}[/math]
     if [math](cur,v) \notin E[/math]
       reject
     [math]cur \leftarrow v[/math]
   if [math]cur \ne t[/math]
     reject

Теперь можно построить недетерминированный алгоритм, который будет принимать на вход [math]r_i[/math] и (в случае корректности [math]r_i[/math]) будет перечислять все вершины из [math]R_i[/math] на [math]O(\log |G|)[/math] памяти.

 Enumerate([math]s, i, r_i, G[/math])
   [math]counter \leftarrow 0 [/math]                  //количество уже найденных и выведенных элементов
   for [math]v = 1..n[/math] do               //перебираем все вершины графа
     [math]tryV \leftarrow_? \left\{0, 1\right\}[/math]              //недетерминированно угадываем путь из s до v или переходим к следующей вершине
     if [math]tryV = 0[/math]
       continue
     CheckPath[math](s,v,i)[/math]
     [math]counter[/math]++
     output [math]v[/math]                   //выдаем вершину, до которой угадали путь
   if [math]counter \neq r_i[/math]               //не нашли [math]r_i[/math] вершин, не допускаем
     reject
   

Enumerate перебирает все вершины на логарифмической памяти и пытается угадать путь до этой вершины из [math]s[/math]. Под угадыванием пути подразумевается последовательность недетерминированных выборов следующей вершины пути из [math]s[/math] в [math]v[/math]. Для угадывания пути необходимо [math]O(\log |G|)[/math] памяти, так как необходимо лишь хранить текущую и следующую угадываемую вершины угадываемого пути.

Теперь, имея Enumerate, можно по индукции строить [math]r_i[/math]. Очевидно, что [math]r_0 = 1[/math], так как [math]R_0[/math] содержит единственную вершину — [math]s[/math]. Пусть известно значение [math]r_i[/math]. Напишем программу, которая на логарифмической памяти будет находить [math]r_{i + 1}[/math].


 Next([math]s, i, r_i, G[/math])
   [math]r \leftarrow 1[/math]                           //[math]r_{i+1}[/math] хотя бы один, так как [math]s \in R_{i+1}[/math]
   for [math]v = 1..n[/math] : [math]v \ne s[/math] do          //перебираем все вершины графа, кроме [math]s[/math] — это кандидаты на попадание в [math]R_{i+1}[/math]
     for [math]u \in V : (u, v) \in E[/math] do       //перебираем все ребра, входящие в [math]v[/math]
       if [math]u[/math] in Enumerate([math]s, i, r_i, G[/math]) //перечисляем все вершины из [math]R_i[/math], если [math]u[/math] одна из них, то [math]v \in R_{i+1}[/math]
         [math]r[/math]++                       //увеличиваем количество найденных вершин и переходим к рассмотрению следующего кандидата
         break 
   return [math]r[/math]


Данный алгоритм изначально учитывает [math]s[/math], а затем перебирает всех возможных кандидатов [math]v[/math] на попадание в [math]R_{i + 1}[/math]. Для каждого из них перебираются все ребра, в него входящие. Затем перечисляются все вершины из [math]R_i[/math] и, если начало нашего ребра было перечислено, то [math]v \in R_{i + 1}[/math]. Алгоритм использует [math]O(\log |G|)[/math] памяти, так необходимо хранить лишь [math]v[/math], [math]u[/math], [math]r[/math] и еще поочередно значения полученные в результате вызова Enumerate.

Теперь напишем алгоритм, который будет недетерминированно решать задачу [math]\mathrm{NCONN}[/math] на логарифмической памяти. Он будет состоять из двух частей: вычисление [math]r_{n-1}[/math] и перечисление всех вершин из [math]R_{n - 1}[/math]. Вычисление [math]r_{n-1}[/math] происходит путем вызова Next [math]n - 1[/math] раз, при этом каждый раз в качестве [math]r_i[/math] подставляется новое полученное значение.


 NCONN([math]G, s, t[/math])
   [math]r_n \leftarrow 1[/math]                            //[math]r_0 = 1[/math]
   for [math]i = 0..n - 2[/math] do                 //вычисляем [math]r_{n-1}[/math]
     [math]r_n = [/math] Next([math]s, i, r_n, G[/math])
   if [math]t[/math] in Enumerate([math]s, n - 1, r_n, G[/math])   //перечисляем вершины из [math]R_{n-1}[/math], если [math]t[/math] была перечислена, то [math]t[/math] достижима и выдаем reject, иначе accept
     reject
   else
     accept
Данный алгоритм использует [math]O(\log |G|)[/math] памяти, так как для хранения [math]r_n[/math] и [math]i[/math] необходимо [math]O(\log |G|)[/math], и для вызываемых Next и Enumerate необходимо [math]O(\log |G|)[/math] памяти.
[math]\triangleleft[/math]