Теорема Иммермана — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 8: Строка 8:
  
 
:<tex>\text{STNONCON}=\{\langle G=\langle V,E\rangle,s,t\rangle\colon </tex> нет пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> в графе <tex>G\}.</tex>
 
:<tex>\text{STNONCON}=\{\langle G=\langle V,E\rangle,s,t\rangle\colon </tex> нет пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> в графе <tex>G\}.</tex>
 +
 +
''R<sub>i</sub>''&nbsp;=&nbsp;{''v'': существует путь из ''s'' в ''v'' длиной ≤ ''i''}
  
 
Чтобы показать, что STNONCON входит в NL, можно придумать недетерминированый алгоритм, использующий <tex>O(\log n)</tex> памяти, который
 
Чтобы показать, что STNONCON входит в NL, можно придумать недетерминированый алгоритм, использующий <tex>O(\log n)</tex> памяти, который

Версия 14:31, 6 апреля 2010

Теорема Иммермана

Утверждение теоремы

NL = coNL

Доказательство

Решим задачу STNONCON на логарифмической памяти.

[math]\text{STNONCON}=\{\langle G=\langle V,E\rangle,s,t\rangle\colon [/math] нет пути из [math]s[/math] в [math]t[/math] в графе [math]G\}.[/math]

Ri = {v: существует путь из s в v длиной ≤ i}

Чтобы показать, что STNONCON входит в NL, можно придумать недетерминированый алгоритм, использующий [math]O(\log n)[/math] памяти, который проверяет достижима ли вершина t из s.

Чтобы показать правильность работы алгоритма необходимо показать:

  • В случае недостижимости t из s недетерминированые выборы приводят алгоритм к единице.
  • Если t достижима из s, то вне зависимости от недетерминированых выбором, совершаемых алгоритмом, результат ноль.

Определим Ri = {v: существует путь из s в v длиной ≤ i}. Другими словами это множество всех вершин, достижимых из s не более чем за i шагов. Обозначим |Ri| за ri. Заметим, что если [math]t \notin R_{n-1}[/math], где n = |V|, то не существует путь s в t в графе G, то есть [math]\langle G,s,t\rangle[/math] ∈ STNONCON.