Теорема Иммермана

Материал из Викиконспекты
Версия от 19:50, 14 марта 2013; Berezhkovskaya (обсуждение | вклад) (Исправлено доказательство)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Задача несуществования пути между двумя заданными вершинами в данном графе [math]\mathrm{NCONN} = \{\langle G, s, t \rangle \bigm|[/math] в графе G нет пути из s в t[math]\}.[/math]


Теорема:
[math]\mathrm{coNL} = \mathrm{NL}.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что язык [math]\mathrm{NCONN}[/math] является дополнением языка [math]\mathrm{CONN}[/math]. Чтобы показать, что [math]\mathrm{NCONN}\in \mathrm{NL}[/math], придумаем недетерминированный алгоритм, использующий [math]O(\log |G|)[/math] дополнительной памяти, который проверяет, достижима ли вершина [math]t[/math] из [math]s[/math].

Определим [math]R_i[/math] = {[math]v \bigm|[/math] существует путь из [math]s[/math] в [math]v[/math] длиной [math]\leq i[/math]}. Другими словами это множество всех вершин, достижимых из [math]s[/math] не более чем за [math]i[/math] шагов.

Введем обозначение [math]r_i=|R_i|[/math]. Если [math]t \notin R_{n-1}[/math], где [math]n = |V|[/math], то не существует путь из [math]s[/math] в [math]t[/math] в графе [math]G[/math], то есть [math]\langle G, s, t \rangle \in \mathrm{NCONN}[/math].

Можно построить недетерминированный алгоритм, который будет решать задачу [math]\mathrm{NCONN}[/math] на [math]O(\log |G|)[/math] памяти (это будет доказано ниже).

Таким образом показано, что [math]\mathrm{NCONN} \in \mathrm{NL}[/math]. Поскольку [math]\mathrm{CONN} \in \mathrm{NLC}[/math], то аналогичным образом [math]\mathrm{NCONN} \in \mathrm{coNLC}[/math]. Получаем, что любую задачу из [math]\mathrm{coNL}[/math] можно свести к задаче из [math]\mathrm{NL}[/math], а значит [math]\mathrm{coNL} \subset \mathrm{NL}[/math].

Из соображений симметрии [math]\mathrm{NL} \subset \mathrm{coNL}[/math], а значит [math]\mathrm{coNL} = \mathrm{NL}[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Можно построить недетерминированный алгоритм, который будет решать задачу [math]\mathrm{NCONN}[/math] на [math]O(\log |G|)[/math] памяти.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для начала приведем недетерминированный алгоритм, находящий путь между двумя вершинами с длиной не более заданной.

 CheckPath([math]s,t,k[/math])
   [math]cur \leftarrow s[/math]
   for [math]i = 1..k[/math] do
     [math]v \leftarrow_? \left\{1..n\right\}[/math]
     if [math](cur,v) \notin E[/math]
       reject
     [math]cur \leftarrow v[/math]
   if [math]cur \ne t[/math]
     reject

Теперь можно построить недетерминированный алгоритм, который будет принимать на вход [math]r_i[/math] и (в случае корректности [math]r_i[/math]) будет перечислять все вершины из [math]R_i[/math] на [math]O(\log |G|)[/math] памяти.

 Enumerate([math]s, i, r_i, G[/math])
   [math]counter \leftarrow 0 [/math]                  //количество уже найденных и выведенных элементов
   for [math]v = 1..n[/math] do               //перебираем все вершины графа
     [math]tryV \leftarrow_? \left\{0, 1\right\}[/math]              //недетерминированно угадываем путь из s до v или переходим к следующей вершине
     if [math]tryV = 0[/math]
       continue
     CheckPath[math](s,v,i)[/math]
     [math]counter[/math]++
     output [math]v[/math]                   //выдаем вершину, до которой угадали путь
   if [math]counter \neq r_i[/math]               //не нашли [math]r_i[/math] вершин, не допускаем
     reject
   

Enumerate перебирает все вершины на логарифмической памяти и пытается угадать путь до этой вершины из [math]s[/math]. Под угадыванием пути подразумевается последовательность недетерминированных выборов следующей вершины пути из [math]s[/math] в [math]v[/math]. Для угадывания пути необходимо [math]O(\log |G|)[/math] памяти, так как необходимо лишь хранить текущую и следующую угадываемую вершины угадываемого пути.

Теперь, имея Enumerate, можно по индукции строить [math]r_i[/math]. Очевидно, что [math]r_0 = 1[/math], так как [math]R_0[/math] содержит единственную вершину — [math]s[/math]. Пусть известно значение [math]r_i[/math]. Напишем программу, которая на логарифмической памяти будет находить [math]r_{i + 1}[/math].


 Next([math]s, i, r_i, G[/math])
   [math]r \leftarrow 1[/math]                           //[math]r_{i+1}[/math] хотя бы один, так как [math]s \in R_{i+1}[/math]
   for [math]v = 1..n[/math] : [math]v \ne s[/math] do          //перебираем все вершины графа, кроме [math]s[/math] — это кандидаты на попадание в [math]R_{i+1}[/math]
     for [math]u \in V : (u, v) \in E[/math] do       //перебираем все ребра, входящие в [math]v[/math]
       if [math]u[/math] in Enumerate([math]s, i, r_i, G[/math]) //перечисляем все вершины из [math]R_i[/math], если [math]u[/math] одна из них, то [math]v \in R_{i+1}[/math]
         [math]r[/math]++                       //увеличиваем количество найденных вершин и переходим к рассмотрению следующего кандидата
         break 
   return [math]r[/math]


Данный алгоритм изначально учитывает [math]s[/math], а затем перебирает всех возможных кандидатов [math]v[/math] на попадание в [math]R_{i + 1}[/math]. Для каждого из них перебираются все ребра, в него входящие. Затем перечисляются все вершины из [math]R_i[/math] и, если начало нашего ребра было перечислено, то [math]v \in R_{i + 1}[/math]. Алгоритм использует [math]O(\log |G|)[/math] памяти, так необходимо хранить лишь [math]v[/math], [math]u[/math], [math]r[/math] и еще поочередно значения полученные в результате вызова Enumerate.

Теперь напишем алгоритм, который будет недетерминированно решать задачу [math]\mathrm{NCONN}[/math] на логарифмической памяти. Он будет состоять из двух частей: вычисление [math]r_{n-1}[/math] и перечисление всех вершин из [math]R_{n - 1}[/math]. Вычисление [math]r_{n-1}[/math] происходит путем вызова Next [math]n - 1[/math] раз, при этом каждый раз в качестве [math]r_i[/math] подставляется новое полученное значение.


 NCONN([math]G, s, t[/math])
   [math]r_n \leftarrow 1[/math]                            //[math]r_0 = 1[/math]
   for [math]i = 0..n - 2[/math] do                 //вычисляем [math]r_{n-1}[/math]
     [math]r_n = [/math] Next([math]s, i, r_n, G[/math])
   if [math]t[/math] in Enumerate([math]s, n - 1, r_n, G[/math])   //перечисляем вершины из [math]R_{n-1}[/math], если [math]t[/math] была перечислена, то [math]t[/math] достижима и выдаем reject, иначе accept
     reject
   else
     accept
Данный алгоритм использует [math]O(\log |G|)[/math] памяти, так как для хранения [math]r_n[/math] и [math]i[/math] необходимо [math]O(\log |G|)[/math], и для вызываемых Next и Enumerate необходимо [math]O(\log |G|)[/math] памяти.
[math]\triangleleft[/math]