Теорема Иммермана

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Иммермана

Утверждение теоремы

NL = coNL

Доказательство

Решим задачу STNONCON на логарифмической памяти.

[math]\text{STNONCON}=\{\langle G=\langle V,E\rangle,s,t\rangle\colon [/math] нет пути из [math]s[/math] в [math]t[/math] в графе [math]G\}.[/math]

Чтобы показать, что STNONCON входит в NL, можно придумать недетерминированый алгоритм, использующий [math]O(\log n)[/math] памяти, который проверяет достижима ли вершина t из s.

Чтобы показать правильность работы алгоритма необходимо показать:

  • В случае недостижимости t из s недетерминированые выборы приводят алгоритм к единице.
  • Если t достижима из s, то вне зависимости от недетерминированых выбором, совершаемых алгоритмом, результат ноль.

Определим Ri = {v: существует путь из s в v длиной ≤ i}. Другими словами это множество всех вершин, достижимых из s не более чем за i шагов. Обозначим |Ri| за ri. Заметим, что если [math]t \notin R_{n-1}[/math], где n = |V|, то не существует путь s в t в графе G, то есть [math]\langle G,s,t\rangle[/math] ∈ STNONCON.

Лемма: Можно построить алгоритм, который по данному ri будет перечислять все вершины из Ri и удачно завершаться на логарифмической памяти. Если ri больше истинного размера Ri, то алгоритм завершится неудачно; однако если ri меньше истинного размера Ri, то алгоритм завершится удачно, но перечислит лишь некое подмножество Ri.

Enum(s, i, r_i, G)

 counter := 0 //количество уже найденных и выведенных элементов
 for v = 1 .. n do //перебираем все вершины графа
   continue or find path //недетерминировано выбираем переходить к следующей вершине или угадываем путь до данной
   counter++ 
   write v //выводим вершину, до которой угадали путь
   if counter ≥ r_i then //нашли r_i вершин, удачно завершаем работу
     ACCEPT
 REJECT //не нашли r_i вершин

Enum перебирает все вершины на логарифмической памяти и пытается угадать путь до этой вершины из s.