Изменения

Если <math>NP \subset P/poly</math> то <math>\Sigma_2=\Pi_2</math>

Пусть есть логические схемы для <tex>NP</tex> (для любой задаче задачи из NP).Например зафиксируем Зафиксируем любую задачу из <tex>NP например </tex>. Например пусть сат разрешает <tex>SAT</tex> разрешается логическими схемами <tex>SAT : C_1...C_n...</tex>, сат который поддерживается (<tex>SAT</tex> с одним битом разрешается логической схемой с1 сат <tex>C_1</tex>, <tex>SAT</tex> с двумя переменными логической схемой с2.<tex>C_2</tex> и т.д.Что значит разрешается? Это значит что логическая схема, в инпуте которой который каким то логичным образом закодирована формула, а на выходе логичным образом в вмде 0 и один закодировано есть ли доказательство(разложение) или нет. И причем размер этой логической схемы не больше чем какой то полином от n. Но мы не утверждаем, что можем как то конструктивно их построить. Если бы мы могли за полином их построить, то это бы означало, что сат2=п2, что P=NP.Итак, что это означает, рассмотрим, это означает на самом деле что для любого n (зафиксируем n)

'''Требуется доказать, что <tex> L\existsin \Sigma_1</tex>''' Если <tex>L_1\in{C_n} NP</tex> то <tex>L_1 \forallle{}_m SAT</tex> с помощью <tex>f</tex>, т.е. <tex>L=\varphi{}} (x|\forall{xy} \varphi{f(<x,y>)\in{SAT}=0 \Leftrightarrow C_n(\varphi{})=0)</tex>.

Рассмотрим '''Что такое "<tex>L_1 = \{f(<x,y>|\exists{z}: )\psisubset{(x,y,z)}\SAT}</tex>"?'''

<tex>L_1 f(<x,y>)\subset{SAT}</tex> <tex>--</tex> для некоторого набора логических схем это означает выполнимость всего этого набора. Если предположить, что набор этих схем известен, то получится, что <tex>L=\{x|\forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\in NP}</tex> по определению ,где <tex>NPn</tex>- длина входа <tex><x,y></tex>.

Требуется откуда то взять этот набор. Его можно угадать, используя квантор "<tex>L={x|\forallexists{y} <x,y>\in{L_1}}</tex>" снаружи.

Нужно доказать <tex>C_n</tex> существует по предположению, что <tex>NP \subset{P/poly}</tex> т.е. <tex>L=\in {x|\exists{C_n}: C_n</tex> решает <tex>SAT</tex> и <tex>\forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\Sigma_1}</tex>

'''Что такое <tex>f(<x,y>)\in{SAT}C_n</tex> - это значит, что для некоторого набора формул выполняется для всего набора, если предположить, что Решает <tex>L=\{x|\forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}SAT</tex>?'''

Но надо откуда-то взять этот набор. Можно его угадать, Запишем это используя квантор существует. Добавим его.Так как <tex>NP \subset P/poly</tex> то "<tex>L=\{x|\exists{C_n}: C_n решает SAT и \forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>".

Что означает <tex>C_n</tex> решает <tex>SAT</tex>? Нужно переписать с квантором для любого. <tex>C_n</tex> решает <tex>SAT</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> если <tex>\forall{\varphi} \forall{x} (fi(x)=1 \Rightarrow C_n(fi)=1)</tex>

Воспользуемся самосведением <tex>SAT</tex>: <tex>L=\{x|\exists{C1,C2,..,Cn} - набор логических схем для SAT и\forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>,где - <tex>C1,C2,..,Cn</tex> набор логических схем для <tex>SAT</tex>.

Если <tex>C</tex> решает <tex>\forall{\varphi{}} (C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=0 \Rightarrow \forall{x} \varphi(x)=0) (C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=1 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0} \in SAT или </tex> то все хорошо. Если нет, то зафиксируем формулу <tex>\varphi{}|_{x_1=1} \in SAT)_0</tex>, которую он не решает. Если на этой формуле выдаст 0, а должна выдать 1, то получается что не удовлетворяет первую часть предыдущего выражения и, значит, не будет работать. Если наоборот выдаст 1 а на самом деле формула не удавлетворима то обе скобки не выполнятся и опять формула работать не будет.

Если <tex>C</tex> решает <tex>SAT</tex> то все хорошоРассмотрим минимальную неправильную схему. Тогда на той формуле, если нет то зафиксируем формулу на которой не решаетэта схема неправильна, по предположению, что все более короткие формулы правильны,эта формула распознается схемами с меньшим числом входов. Если выдаст Поэтому обе скобки будут 0 а должна выдать 1 то первую и мы не удолветворяет, если наоборот то обе не удовлетворяетузнаем набор схем. Развернем формулу до конца.

<tex> \forall{\varphi{}}: |\varphi{}|=m \forall{x_1}..\forall{x_m} если </tex><tex> C_m(\varphi{})=0 \Rightarrow \varphi{(x_1)}=0 </tex> иначе <tex> C_{m-1}(\varphi|_{x_1=0})=0 \Rightarrow \varphi|_{x_1=0}(x_2)=0</tex> <tex>C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})=0 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0}(x_2)=0</tex> <tex>C_{m-1}(\varphi{}|{x_1=0}) \vee{} C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})</tex> Далее рекурсивно записываем ту же самую формулу от того из них, которое равно 1.

Получаем что <texmath>C_{m-1}(L\varphi{}|{x_1=0}) in \vee{} C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})Sigma_2</texmath>