Изменения

Если <math>NP \subset P/poly</math> то <math>\Sigma_2=\Pi_2</math>

Пусть есть логические схемы для <tex>NP</tex> (для любой задаче задачи из NP).Например зафиксируем Зафиксируем любую задачу из <tex>NP например </tex>. Например пусть сат разрешает <tex>SAT</tex> разрешается логическими схемами <tex>SAT : C_1...C_n...</tex>, сат который поддерживается (<tex>SAT</tex> с одним битом разрешается логической схемой с1 сат <tex>C_1</tex>, <tex>SAT</tex> с двумя переменными логической схемой с2.<tex>C_2</tex> и т.д.Что значит разрешается? Это значит что логическая схема, в инпуте которой который каким то логичным образом закодирована формула, а на выходе логичным образом в вмде 0 и один закодировано есть ли доказательство(разложение) или нет. И причем размер этой логической схемы не больше чем какой то полином от n. Но мы не утверждаем, что можем как то конструктивно их построить. Если бы мы могли за полином их построить, то это бы означало, что сат2=п2, что P=NP.Итак, что это означает, рассмотрим, это означает на самом деле что для любого n (зафиксируем n)

'''Что значит "разрешается логической схемой"?''' Это значит что если на вход логической схеме подать каким-то логичным образом закодированную формулу, то на выходе получется логичным образом в виде 0 и 1 закодированный ответ - имеется разложение или нет. И причем размер этой логической схемы <tex>|C_n|\le p(n) </tex>, где <tex>p(n)</tex> - какой-то полином. Здесь не утверждается, что эти логические схемы можно как-то конструктивно построить. Если бы их было возможно построить за полином, то это бы означало, что <tex>SAT_2=\Pi_2</tex> и значит <tex>P = NP</tex>. Итак, получается, что если зафиксировать <tex>n</tex>, то для этого фиксированного <tex>n</tex> будет <tex>\exists{C_n}\forall{} формулы \varphi{} (\varphi{} \in{} SAT |\varphi{}|=n \Leftrightarrow C_n(\varphi{})=1)</tex> <tex> \exists{C_n} \forall{\varphi{}} (\forall{x} формулы длины n \varphi{(x)}=0 \Leftrightarrow C_n(\varphi{})=0)</tex>., где <tex>x</tex> - вход длины <tex>n</tex>

'''Что такое f(<x,y>)\in SAT ?<tex>f(<x,y>)\inexists{SATz}</tex> - это значит, что для некоторого набора булевых(логических) схем, выполнимость всего этого набора, если предположить, что набор этих схем нам известен то получится что <tex>L=\{x|:\forallpsi{y} C_n(f(<x,y>,z))=1\}</tex> где n- длина входа <x,y>?'''Нам надо откуда то взять этот набор. Мы можем его угадать используя квантор существует снаружи.Cn он существует по предположению что NP входит в P/poly т.е.<tex>L=\{x|\exists{C_n}: C_n решает SAT и \forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>----

Что такое Cn Решает SAT? Нам разрешается использовать только квантор для любого.Обозначим пары <tex>C_n<x,y></tex> решает , для которых такой <tex>SATz</tex> существует как какой нибудь язык <tex>\LeftrightarrowL_1</tex> если . <tex>L_1 = \forall{<x,y>|\varphiexists{z} : \forallpsi{x} (fi(x,y,z)=1 }\Rightarrow C_n(fi)=1)}</tex>.

Воспользуемся самосведением Заметим что <tex>SATL_1 \in NP</tex> по определению <tex>NP</tex>:  Таким образом получается, что <tex>L=\{x|\existsforall{C1y} <x,C2y>\in{L_1}\}</tex> ----  '''Требуется доказать,что <tex>L\in \Sigma_1</tex>''' Если <tex>L_1\in{} NP</tex> то <tex>L_1 \le{}_m SAT</tex> с помощью <tex>f</tex>, т.е. <tex>L=\{x|\forall{y} f(<x,y>)\in{SAT}\}</tex>  '''Что такое "<tex>f(<x,y>)\subset{SAT}</tex>"?''' <tex>f(<x,Cny>)\subset{SAT} </tex> <tex>- -</tex> для некоторого набора логических схем это означает выполнимость всего этого набора. Если предположить, что набор логических этих схем для известен, то получится, что <tex>L=\{x|\forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>,где <tex>n</tex>- длина входа <tex><x,y></tex>. Требуется откуда то взять этот набор. Его можно угадать, используя квантор "<tex>\exists{}</tex>" снаружи. <tex>C_n</tex> существует по предположению, что <tex>NP \subset{P/poly}</tex> т.е. <tex>L=\{x|\exists{C_n}: C_n</tex> решает <tex>SAT </tex> и<tex>\forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>Внутри будем проверять используемый набор  '''Что такое <tex>C_n</tex> Решает <tex>SAT</tex>?'''

Запишем это используя квантор "<tex>\forall{\varphi{}} (C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=0 \Rightarrow \forall{x} \varphi(x)=0) (C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=1 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0} \in SAT или \varphi{}|_{x_1=1} \in SAT)</tex>// Если Cn(фи)=0 то для любого x (для любого тут можем использовать) фи(х)=0Если Cn(фи)=1 то либо фи(ч1=0) принадлежит сат либо фи(х1=1) принадлежит сат тут не N а длина фиВот когда подставим x1=0 нужно будет использовать(получится более короткая формула) и используем для проверки логическую схему более короткую . Если она выдает 1 то мы опять подставляем либо 0 либо 1 и так далее". Это правильная проверка причем за полином

Если <tex>CC_n</tex> решает <tex>SAT</tex> то все хорошо, <tex>\Leftrightarrow</tex> если нет то зафиксируем формулу которую он не решает. Если выдаст 0 а должна выдать <tex>\forall{\varphi} \forall{x} (fi(x)=1 то вот эту первую часть не удолветворяет и тут не будет работать, если наоборот выдаст \Rightarrow C_n(fi)=1 а на самом деле формула не удавлетворима то ни эта ни эта не будет работать)</tex>

Рассмотрим минимальную схему которая неправильнаВоспользуемся самосведением <tex>SAT</tex>: <tex>L=\{x|\exists{C1, тогда на той формулеC2, на которой эта схема неправильна по предположению что все более короткие формулы правильны..,эта распознается схемами с меньшим числом входовCn} \forall{y} C_n(f(<x, поэтому и эта и эта будут 0 и мы не узнаем y>))=1\}</tex>,где - <tex>C1,C2,..,Cn</tex> набор логических схемдля <tex>SAT</tex>. Можно попробовать развернуть формулу до конца. Видимо это будет выглядеть так

Внутри будем проверять используемый набор <tex> \forall{\varphi{}}: (C_{|\varphi{}|=m }(\forallvarphi{x_1}..)=0 \Rightarrow \forall{x_mx} если C_m( \varphi{}(x)=0 )\Rightarrow vee{}</tex> <tex>(C_{|\varphi{}|}(x_1\varphi{})}=0 иначе C_{m-1}(\Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0})=0 \Rightarrow in SAT или \varphi{}|_{x_1=01}(x_2\in SAT)=0</tex>

Если <tex>C</tex> решает <tex>SAT</tex> то все хорошо. Если нет, то зафиксируем формулу <tex>C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})=0 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0}(x_2)=0_0</tex>, которую он не решает. Если на этой формуле выдаст 0, а должна выдать 1, то получается что не удовлетворяет первую часть предыдущего выражения и, значит, не будет работать. Если наоборот выдаст 1 а на самом деле формула не удавлетворима то обе скобки не выполнятся и опять формула работать не будет.

Рассмотрим минимальную неправильную схему. Тогда на той формуле, на которой эта схема неправильна, по предположению, что все более короткие формулы правильны,эта формула распознается схемами с меньшим числом входов. Поэтому обе скобки будут 0 и мы не узнаем набор схем. Развернем формулу до конца.  <tex> \forall{\varphi{}}: |\varphi{}|=m \forall{x_1}..\forall{x_m} </tex><tex> C_m(\varphi{})=0 \Rightarrow \varphi{(x_1)}=0</tex> иначе <tex> C_{m-1}(\varphi|_{x_1=0})=0 \Rightarrow \varphi|_{x_1=0}(x_2)=0</tex> <tex>C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})=0 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0}(x_2)=0</tex> <tex>C_{m-1}(\varphi{}|{x_1=0}) \vee{} C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})</tex> И Далее рекурсивно вызываемся от того из них которое равно 1. Ту записываем ту же самую формулу но записываем от того из них , которое равно 1 (это же предикат но для того из них фи при х1= для которого труе). Второй вариант был угадать не только будевы булевы схемы для сат но и те схемы, которые выдают нам правильные значения .