Изменения

Если <math>NP \subset P/poly</math> то <math>\Sigma_2=\Pi_2</math>

Пусть есть логические схемы для <tex>NP</tex> (для любой задачи из NP). Зафиксируем любую задачу из <tex>NP</tex>. Например пусть <tex>SAT</tex> разрешается логическими схемами <tex> C_1...C_n... </tex> (<tex>SAT</tex> с одним битом разрешается логической схемой <tex>C_1</tex>, <tex>SAT</tex> с двумя переменными логической схемой <tex>C_2</tex> и так далеет.д.).

Не утверждается, что их можно как то конструктивно построить. Если бы их было возможно построить за полином, то это бы означало, что <tex>SAT_2=\Pi_2</tex> и '''Что значит <tex>P = NP</tex>."разрешается логической схемой"?'''

Итак, это означает, Это значит что если зафиксировать на вход логической схеме подать каким-то логичным образом закодированную формулу, то на выходе получется логичным образом в виде 0 и 1 закодированный ответ - имеется разложение или нет. И причем размер этой логической схемы <tex>|C_n|\le p(n) </tex>, для этого фиксированного <tex>nгде </tex> <tex>\exists{C_n}\forall{} формулы \varphi{} p(\varphi{} \in{} SAT |\varphi{}|=n \Leftrightarrow C_n(\varphi{})=1)</tex> - какой-то полином.

Здесь не утверждается, что эти логические схемы можно как-то конструктивно построить. Если бы их было возможно построить за полином, то это бы означало, что <tex> \exists{C_n} \forall{\varphi{}} (\forall{x} формулы длины n \varphi{(x)}SAT_2=0 \Leftrightarrow C_n(\varphi{})Pi_2</tex> и значит <tex>P =0)NP</tex>.

'''Что такое <tex>\exists{z}:\psi{(x,y,z)}</tex>?''' ---- Обозначим пары <tex><x,y></tex>, для которых такой <tex>z</tex> существует как какой нибудь язык <tex>L_1</tex>. <tex>L_1 = \{<x,y>|\exists{z}: \psi{(x,y,z)}\}</tex>.

'''Требуется доказать, что <tex>L\in \Sigma_1</tex>''' Если <tex>L_1\in{} NP</tex> то <tex>L_1 \le{}_m SAT</tex> с помощью <tex>f</tex>, т.е. <tex>L=\{x|\forall{y} f(<x,y>)\in{SAT}\}</tex>  '''Что такое "<tex>f(<x,y>)\subset{SAT}</tex>"?''' <tex>f(<x,y>)\subset{SAT}</tex> <tex>--</tex> для некоторого набора логических схем это означает выполнимость всего этого набора. Если предположить, что набор этих схем известен, то получится, что <tex>L=\{x|\forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>,где <tex>n</tex>- длина входа <tex><x,y></tex>.

'''Что такое Cn Решает SAT? Запишем это используя квантор "<tex>\forall{}</tex>".<tex>C_n</tex> решает Решает <tex>SAT</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> если <tex>\forall{\varphi} \forall{x} (fi(x)=1 \Rightarrow C_n(fi)=1)</tex>?'''

Воспользуемся самосведением Запишем это используя квантор "<tex>SAT</tex>: <tex>L=\{x|\exists{C1,C2,..,Cn} \forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>, где - <tex>C1,C2,..,Cn</tex> набор логических схем для <tex>SAT</tex>".Внутри будем проверять используемый набор

<mathtex>C_n</tex> решает <tex>SAT</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> если <tex>\forall{\varphi{}} (C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=0 \Rightarrow \forall{x} \varphi (fi(x)=0) (C_{|1 \varphi{}|}Rightarrow C_n(\varphi{}fi)=1 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0} \in SAT или \varphi{}|_{x_1=1} \in SAT)</mathtex>

Воспользуемся самосведением <tex>SAT<// Если Cn(фи)tex>: <tex>L=0 то для любого \{x |\exists{C1,C2,..,Cn} \forall{y} C_n(для любого тут можем использовать) фиf(х<x,y>)=0Если Cn(фи)=1 то либо фи(ч1=0) принадлежит сат либо фи(х1=1) принадлежит сат тут не N а длина фи\}</tex>,Вот когда подставим x1=0 нужно будет использовать(получится более короткая формула) и используем где - <tex>C1,C2,..,Cn</tex> набор логических схем для проверки логическую схему более короткую . Если она выдает 1 то мы опять подставляем либо 0 либо 1 и так далее<tex>SAT</tex>. Это правильная проверка причем за полином

Если Внутри будем проверять используемый набор <tex>C\forall{\varphi{}} (C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=0 \Rightarrow \forall{x} \varphi{}(x)=0)\vee{}</tex> решает <tex>(C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=1 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0} \in SATили \varphi{}|_{x_1=1} \in SAT)</tex> то все хорошо, если нет то зафиксируем формулу которую он не решает. Если выдаст 0 а должна выдать 1 то вот эту первую часть не удолветворяет и тут не будет работать, если наоборот выдаст 1 а на самом деле формула не удавлетворима то ни эта ни эта не будет работать

Рассмотрим минимальную схему которая неправильнаЕсли <tex>C</tex> решает <tex>SAT</tex> то все хорошо. Если нет, то зафиксируем формулу <tex>\varphi{}_0</tex>, тогда которую он не решает. Если на той этой формулевыдаст 0, на которой эта схема неправильна по предположению а должна выдать 1, то получается что все более короткие формулы правильныне удовлетворяет первую часть предыдущего выражения и,эта распознается схемами с меньшим числом входовзначит, поэтому и эта и эта будут 0 не будет работать. Если наоборот выдаст 1 а на самом деле формула не удавлетворима то обе скобки не выполнятся и мы опять формула работать не узнаем набор схем. Можно попробовать развернуть формулу до концабудет. Видимо это будет выглядеть так

<tex> \forall{\varphi{}}: |\varphi{}|=m \forall{x_1}Рассмотрим минимальную неправильную схему.Тогда на той формуле, на которой эта схема неправильна, по предположению, что все более короткие формулы правильны,эта формула распознается схемами с меньшим числом входов.\forall{x_m} если C_m(\varphi{})=Поэтому обе скобки будут 0 \Rightarrow \varphi{(x_1)}=0 иначе C_{m-1}(\varphi|_{x_1=0})=0 \Rightarrow \varphi|_{x_1=0}(x_2)=0</tex>и мы не узнаем набор схем. Развернем формулу до конца.

<tex> \forall{\varphi{}}: |\varphi{}|=m \forall{x_1}..\forall{x_m} </tex><tex> C_m(\varphi{})=0 \Rightarrow \varphi{(x_1)}=0</tex> иначе <tex> C_{m-1}(\varphi|_{x_1=0})=0 \Rightarrow \varphi|_{x_1=0}(x_2)=0</tex> <tex>C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})=0 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0}(x_2)=0</tex> <tex>C_{m-1}(\varphi{}|{x_1=0}) \vee{} C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})</tex> Далее рекурсивно записываем ту же самую формулу от того из них, которое равно 1.

<tex>C_{m-1}(\varphi{}|{x_1=0}) \vee{} C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})</tex> И рекурсивно вызываемся от того из них которое равно 1. Ту же самую формулу но записываем от того из них которое равно 1 (это же предикат но для того из них фи при х1= для которого труе)Второй вариант был угадать не только будевы булевы схемы для сат но и те схемы, которые выдают нам правильные значения .