'''Теорема Карпа-Липтона'''
Если <math>NP \subset P/poly</math> то <math>\Sigma_2=\Pi_2</math>
== Доказательство ==
Требуется откуда то взять этот набор. Его можно угадать, используя квантор "<tex>\exists{}</tex>" снаружи.
<tex>C_n</tex> существует по предположению, что <tex>NP \subset{P/poly}</tex> т.е.
<tex>L=\{x|\exists{C_n}: C_n</tex> решает <tex>SAT</tex> и <tex>\forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>
<tex>C_n</tex> существует по предположению что <tex>NP</tex> входит в <tex>P/poly</tex> т.е.
<tex>L=\{x|\exists{C_n}: C_n решает SAT и \forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>
'''Что такое Cn <tex>C_n</tex> Решает <tex>SAT</tex>?'''
Запишем это используя квантор "<tex>\forall{}</tex>".
<tex>C_n</tex> решает <tex>SAT</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> если <tex>\forall{\varphi} \forall{x} (fi(x)=1 \Rightarrow C_n(fi)=1)</tex>
Воспользуемся самосведением <tex>SAT</tex>: <tex>L=\{x|\exists{C1,C2,..,Cn} \forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>, где - решает <tex>C1,C2,..,CnSAT</tex> набор логических схем для <tex>SAT\Leftrightarrow</tex>.Внутри будем проверять используемый набор если <tex>\forall{\varphi{}} (C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=0 \Rightarrow \forall{x} \varphi (fi(x)=0) (C_{|1 \varphi{}|}Rightarrow C_n(\varphi{}fi)=1 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0} \in SAT или \varphi{}|_{x_1=1} \in SAT)</tex>
Воспользуемся самосведением <tex>SAT<// Если Cn(фи)tex>: <tex>L=0 то для любого \{x |\exists{C1,C2,..,Cn} \forall{y} C_n(для любого тут можем использовать) фиf(х<x,y>)=0Если Cn(фи)=1 то либо фи(ч1=0) принадлежит сат либо фи(х1=1) принадлежит сат тут не N а длина фи\}</tex>,Вот когда подставим x1=0 нужно будет использовать(получится более короткая формула) и используем где - <tex>C1,C2,..,Cn</tex> набор логических схем для проверки логическую схему более короткую . Если она выдает 1 то мы опять подставляем либо 0 либо 1 и так далее<tex>SAT</tex>. Это правильная проверка причем за полином
Если Внутри будем проверять используемый набор <tex>C\forall{\varphi{}} (C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=0 \Rightarrow \forall{x} \varphi{}(x)=0)\vee{}</tex> решает <tex>(C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=1 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0} \in SATили \varphi{}|_{x_1=1} \in SAT)</tex> то все хорошо, если нет то зафиксируем формулу которую он не решает. Если выдаст 0 а должна выдать 1 то вот эту первую часть не удолветворяет и тут не будет работать, если наоборот выдаст 1 а на самом деле формула не удавлетворима то ни эта ни эта не будет работать
Рассмотрим минимальную схему которая неправильнаЕсли <tex>C</tex> решает <tex>SAT</tex> то все хорошо. Если нет, то зафиксируем формулу <tex>\varphi{}_0</tex>, тогда которую он не решает. Если на той этой формулевыдаст 0, на которой эта схема неправильна по предположению а должна выдать 1, то получается что все более короткие формулы правильныне удовлетворяет первую часть предыдущего выражения и,эта распознается схемами с меньшим числом входовзначит, поэтому и эта и эта будут 0 не будет работать. Если наоборот выдаст 1 а на самом деле формула не удавлетворима то обе скобки не выполнятся и мы опять формула работать не узнаем набор схем. Можно попробовать развернуть формулу до концабудет. Видимо это будет выглядеть так
<tex> \forall{\varphi{}}: |\varphi{}|=m \forall{x_1}Рассмотрим минимальную неправильную схему.Тогда на той формуле, на которой эта схема неправильна, по предположению, что все более короткие формулы правильны,эта формула распознается схемами с меньшим числом входов.\forall{x_m} если C_m(\varphi{})=Поэтому обе скобки будут 0 \Rightarrow \varphi{(x_1)}=0 иначе C_{m-1}(\varphi|_{x_1=0})=0 \Rightarrow \varphi|_{x_1=0}(x_2)=0</tex>и мы не узнаем набор схем. Развернем формулу до конца.
<tex> \forall{\varphi{}}: |\varphi{}|=m \forall{x_1}..\forall{x_m} </tex><tex> C_m(\varphi{})=0 \Rightarrow \varphi{(x_1)}=0</tex> иначе <tex> C_{m-1}(\varphi|_{x_1=0})=0 \Rightarrow \varphi|_{x_1=0}(x_2)=0</tex> <tex>C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})=0 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0}(x_2)=0</tex> <tex>C_{m-1}(\varphi{}|{x_1=0}) \vee{} C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})</tex> Далее рекурсивно записываем ту же самую формулу от того из них, которое равно 1.
<tex>C_{m-1}(\varphi{}|{x_1=0}) \vee{} C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})</tex> И рекурсивно вызываемся от того из них которое равно 1. Ту же самую формулу но записываем от того из них которое равно 1 (это же предикат но для того из них фи при х1= для которого труе)Второй вариант был угадать не только будевы булевы схемы для сат но и те схемы, которые выдают нам правильные значения .
Получаем что <math>L\in \Sigma_2</math>
Теорема доказана
